We kennen de volgende rij: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Recursief voorschrift voor deze rij is:
Un+1=Un+Un-1 met u1=1 en U2=1
De rij van verhoudingen van de opeenvolgende termen is: qn+1=(un+1)/Un
Bewijs dat lim (voor n gaande naar plus oneindig)Qn=$\Phi$=(1+√5)/2
Dries
3de graad ASO - dinsdag 3 februari 2004
Antwoord
Beste Dries,
De basis ligt in een directe formule voor de rij van Fibonacci.
Als eerste stap om deze formule te maken vragen we ons af of er machtrijen
1, t, t2, t3, t4, ...
zijn met de Fibonacci-eigenschap: Un = Un-1+Un-2.
De t voor zo'n machtrij zou dan moeten voldoen aan
1 + t = t2
en voldoet t daaraan dan heb je ook inderdaad een machtrij met de Fibonacci-eigenschap. De twee t's die voldoen zijn $\Phi$ en 1-$\Phi$. Dus we hebben twee zulke machtrijen gevonden (zie ook de link onderaan).
De volgende observatie is dat als je rijen Vn en Wn hebt, en allebei hebben de Fibonacci-eigenschap, dan heeft a·Vn+b·Wn voor constantes a en b die eigenschap ook (eenvoudig na te gaan).
Dus als we nu handige a en b kiezen zodat de rij Gn = a$\Phi$n + b(1-$\Phi$)n waarden oplevert G1=G2=1, dan doet de Fibonacci-eigenschap de rest, en hebben we een directe formule voor de rij van Fibonacci gevonden.
Het blijkt dat a=1/√5 en b=-1/√5 voldoen (ga na). In feite kun je elke rij met de Fibonacci-eigenschap op deze manier van een directe formule voorzien.
Dus voor de Fibonacci-rij Un hebben we afgeleid:
Un= ($\Phi$n - (1-$\Phi$)n)/√5.
Omdat voor n$\to\infty$ duidelijk (1-$\Phi$)n$\to$0 volgt nu snel dat jouw quotiënt Qn$\to\Phi$.
Als je het verhaal wat langer op je laat inwerken, dan zie je ook dat die constanten a en b voor het quotiënt-resultaat niet belangrijk zijn. Als a$\ne$0, dan vind je altijd dat het quotiënt naar $\Phi$ gaat.
