We zijn bezig met een wiskundewerkstuk over andere meetkunden. Voornamelijk over de elliptische meetkunde. Nu zijn er een paar punten waar we niet helemaal uitkomen. Kunt u ons daar misschien mee helpen? - Een punt is een punt samen met zijn tegenvoeter, maar hoe kun je een punt in deze meetkunde gebruiken bij het definiëren van begrippen als middelloodlijn en de afstand van een punt tot een lijn. - Hoe kun je bewijzen dat er geen parallelle lijnen bestaan in de elliptische meetkunde. We begrijpen wel dat het zo is, maar we komen niet uit een bewijs. - Bestaan er cirkels? - Hoe kunnen de vijf postulaten worden bewezen? We weten dat ze ook voor de elliptische meetkunde gelden, maar we weten niet hoe we ze kunnen bewijzen. We zouden het erg fijn vinden als u ons kon helpen, want we komen er zelf helemaal niet uit.
Vr. Groeten, Tjarko en Marianne
tjarko
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 17 oktober 2003
Antwoord
Hallo,
Als je met niet-Euclidische meetkundes werkt, is het altijd belangrijk te weten hoe je hoeken en afstanden kan definiëren.
Ik veronderstel dat jullie model van elliptische meetkunde vertrekt van een bol, bv met straal 1, en dat de lijnen de grote cirkels op deze bol zijn. Deze grote cirkels zijn de snijding van de bol met een vlak door het centrum van de bol.
De hoek is eenvoudig te definiëren: de hoek tussen twee lijnen is de hoek tussen de vlakken die de lijnen bepalen. Voor de afstand tussen twee punten moet je eerst de unieke grote cirkel door deze VIER punten bepalen (want een elliptisch punt bestaat uit twee punten op de bol). Noem de punten a met tegenvoeter a' en b met tegenvoeter b'. Dan lijkt het me logisch om de afstand tussen deze twee punten te definiëren als de kleinste afstand (over de grote cirkel gemeten) tussen a en b of tussen a en b' (let dus goed op: je kan op twee manieren van a naar b, kies daarvan de kortste. Kies ook de kortste weg over die cirkel van a naar b' en de afstand is dan de kleinste van die twee resultaten)
Dan jullie vragen: - Er zijn geen parallellen: wel, kies twee lijnen. Deze zijn afkomstig van twee vlakken door het centrum o van de bol. Die twee vlakken snijden elkaar in een rechte door o (ik bedoel dus een rechte in de Euclidische ruimte, geen lijn uit het elliptisch model). En die rechte snijdt natuurlijk de bol in p en in tegenvoeter p'. Dus ligt het punt (p=p') op beide lijnen. - De postulaten: het vijfde is dat er geen parallellen zijn, dus dat is al in orde. De vier andere zijn: (bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Meetkunde)
1. Door twee punten kun je altijd precies één rechte lijn trekken.
Klopt, want als je punten a=a' en b=b' hebt, dan wordt de enige lijn gevormd door het vlak abo. Dat is een vlak en geen rechte, anders zou (a=a')=(b=b').
2. Een rechte lijn kun je eindeloos doortrekken terwijl het een rechte lijn blijft.
Dat is een beetje discutabel: na een half rondje kom je weer op dezelfde punten uit. Maar je kan natuurlijk wel je rechte blijven doortrekken... Een beetje dubbelzinnig dus.
3. Elke rechte lijn kan de straal van een cirkel zijn, waarbij een van de uiteinden van die lijn het middelpunt van die cirkel is.
Een cirkel is de verzameling punten die op eenzelfde afstand liggen van één centrum. Het postulaat geeft je een afstand (nl de lengte van de cirkelboog dat die rechte lijn vormt) en een centrum (daarvoor mag je één van de eindpunten van die boog kiezen). Dus ook dat is geen probleem (en meteen is ook de vraag of er cirkels zijn beantwoord)
4. Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.
Klopt ook, want rechte hoeken in dit elliptisch model komen overeen met rechte hoeken tussen vlakken in het Euclidisch model. En we weten dat alle rechte hoeken in het Euclidisch model gelijk zijn.
En dan nog dat eerste vraagje: probeer 'middelloodlijn' en 'afstand tot een lijn' eens te herformuleren zodat je alleen 'afstand van punt tot punt' en 'hoek' nodig hebt. Als je dat kan, zijn de begrip zinvol.
