|
|
|
\require{AMSmath}
Voortbrengende functies
Je moet 295 cent betalen. Je mag gebruik maken van zoveel mogelijk 1,2,5,10,20,50,100 en 200 centen. Op hoeveel verschillende manieren kun je 295 cent betalen? Hoe reken je dat uit?
FdK
Docent - vrijdag 28 maart 2025
Antwoord
Dit is een bekend probleem, zie bijvoorbeeld de allereerste twee opgaven in het boek Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis van Polya en Szegö, met oplossing op pagina 152 (een eenvoudige versie met 1- en 2-Euromunten staat in Pythagoras).
Voor k=1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, en 200 neem je de meetkundige reeks \sum_{n=0}^\infty x^{kn}, en dan van die acht reeksen het product
\sum_{n=0}^\infty x^{n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{2n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{5n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{10n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{20n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{50n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{100n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{200n} Je moet dan de coëfficiënt van x^{295} hebben (ik zou een computer-algebraprogramma gebruiken, of wolfram alpha). Als ik Maple mag geloven is het antwoord gelijk aan 434696. Dit zijn de commando's die ik gebruikt heb.
g:=sum(x^k,k=0..295)*sum(x^(2*k),k=0..147)*sum(x^(5*k),k=0..59)*
sum(x^(10*k),k=0..29)*sum(x^(20*k),k=0..14)*sum(x^(50*k),k=0..5)*
(1+x^100+x^200)*(1+x^200);
expand(g);
Dat product, de genererende functie, is ook gelijk aan
\frac1{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)(1-x^{10})(1-x^{20})(1-x^{50})(1-x^{100})(1-x^{200})} maar dat levert niet veel besparing op.
Zie ook Bedrag betalen.
kphart
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 29 maart 2025
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2025 WisFaq - versie 3
|
