|
|
|
\require{AMSmath}
Veeltermen
Goedendag
Zij f een veeltermfunctie met
f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Als f (3) = 20, f (6) = 40 en f (9) = 60, waaraan is f (0) + f (12) dan gelijk?'
ik heb al verschillende dingen geprobeerd maar ik kwam nooit een antwoord uit want ik had te veel onbekenden, hoe moet je hieraan beginnen?
Dank, Arne
Arne
3de graad ASO - zondag 16 maart 2025
Antwoord
Als je 3, 6, 9, en 12 invult lijkt het of je grote getallen krijgt
waar weinig mee te doen is, maar als je 3=1\cdot3, 6=2\cdot3, 9=3\cdot3,
en 12=4\cdot3 schrijft krijg je vier dingen die erg op elkaar lijken:
f(i\cdot3)=i^4\cdot3^4+i^3\cdot a3^3+i^2\cdot b3^2+i\cdot c3+ d
Merk ook nog op dat f(0)=d.
Schrijf nu even z_1=3^4, z_2=a3^3, z_3=b3^2, z_4=c3, en z_5=d.
Je krijgt nu vier vergelijkingen:
\begin{cases} z_1+z_2+z_3+z_4+z_5&=20 \\ 16z_1+8z_2+4z_3+2z_4+z_5&=40 \\ 81z_1+27z_2+9z_3+3z_4+z_5&=60\\ 256z_1+64z_2+16z_3+4z_4+2z_5d&=q \end{cases}
De laatste vergelijking is f(12)+f(0)=q, waarbij q het getal is dat
we zoeken.
Als je nu netjes van achter naar voren z_5, z_4, en z_3 elimineert zul
je zien dat z_2 ook uit de laatste vergelijking wegvalt en de laatste
vergelijking uiteindelijk verandert in 24z_1=q-80; vul nu z_1=3^4 in en
klaar ben je.
Je kunt het elimineren ook in deze aangevulde matrix doen:
\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&|&20\\ 16&8&4&2&1&|&40 \\ 81&27&9&3&1&|&60 \\ 256&64&16&4&2&|&q \end{pmatrix}
kphart
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 16 maart 2025
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2025 WisFaq - versie 3
|
