WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Kansrekenen

2 leerlingen (A en B) hebben 2 boxen.
Blauwe box bevat 2 rode boeken en rode box bevat 2 blauwe boeken.
De leerlingen voeren hun acties gelijktijdig uit.
Leerling A kiest willekeurig 1 boek uit beide boxen en verwisselt die.
Leerling B kiest willekeurig 1 boek uit box 1 en plaatst die in box 2. Daarna kiest hij willekeurig 1 boek uit box 2 en plaatst die in box 1.

Doel: A en B moeten de rode boeken in de rode box krijgen en de blauwe boeken in de blauwe box. In geval van gelijkstand winnen beide leerlingen.

Wat is de kans dat leerling A wint?
S.
Iets anders - dinsdag 28 januari 2025

Antwoord

Die kans is uit te rekenen, maar het vergt nogal wat werk.
Beide spelers zien telkens een van drie situaties voor zich: I=(RR,BB), II=(RB,RB), of III=(BB,RR) (eerste coördinaat is de blauwe doos). De laatste is dus de gewenste situatie en in dat geval stopt de speler.

Je kunt voor elk paar situaties uitrekenen wat de kans is dat de speler de situatie van de eerste in de tweede verandert.

De beginsituatie is I.

Speler A kan die alleen in II veranderen.

Speler B kan die in I en in II veranderen: door het eerste gepakte boek weer te pakken en terug te leggen houden we situatie I, de kans daarop is \frac13; de andere twee boeken hebben samen kans \frac23 om gepakt te worden, dat is de kans om in situatie II te komen. Vanuit I kunnen A en B niet situaties III maken.

Vanuit situatie II kan A met kansen (\frac14,\frac12,\frac14) respectievelijk in situaties I, II, of III komen (één paar geeft I, twee paren bewaren II, en één paar geeft III).

Vanuit situatie III is de kans 0 om in situatie I of II te komen want men doet niets, daarom nemen we de kans om van III in III te komen ook maar gelijk aan 0.
Je kunt dit samenvatten in een matrix:
\begin{pmatrix} 0&\frac14&0\\1&\frac12&0\\0&\frac14&0\end{pmatrix}
Voor B is de matrix gelijk aan
\begin{pmatrix} \frac13&\frac13&0\\\frac23&\frac13&0\\0&\frac13&0 \end{pmatrix}
Met gebruik van eigenwaarden en eigenvectoren kun je de volgende formules vinden voor de kans dat A en B op tijdstip n in situatie III komen: voor n=0 of n=1 is de kans gelijk aan 0, en voor n\ge2 komt er voor A:
P(S_A=n)= \left(\frac{5-\sqrt5}{10}\right)\left(\frac{1+\sqrt5}4\right)^n + \left(\frac{5+\sqrt5}{10}\right)\left(\frac{1-\sqrt5}4\right)^n
en voor B:
P(S_B=n)= \left(\frac{2-\sqrt2}2\right)\left(\frac{1+\sqrt2}3\right)^n + \left(\frac{2+\sqrt2}2\right)\left(\frac{1-\sqrt2}3\right)^n
We noteren de succestijden als S_A en S_B. De kans die je wilt weten is
P(S_A\le S_B)
en die is gelijk aan de dubbele som
\sum_{n=2}^\infty\sum_{k=n}^\infty P(S_A=n)\cdot P(S_B=k)
Die kun je bijvoorbeeld door Wolfram Alpha uit laten rekenen; ik kreeg \frac{339}{601} als antwoord.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 2 februari 2025