WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Functies

Het voorschrift van de rationale functie f hangt af van twee reêle parameters a en b en f(x)= (a-3x)/(x+b), de vraag is

“Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de parameters a en b opdat de rechte met vergelijking y=x een symmetrieas is van de grafiek van f?”

Hoe kan je hieraan beginnen en kan je dit ook oplossen met asymptoten, ik zit echt vast bij deze.

Hendrik
3de graad ASO - zaterdag 18 januari 2025

Antwoord

Je kunt zeker even naar de asymptoten kijken: die moeten elkaars gespiegelden zijn ten opzichte van $y=x$. De horizontale ligt op hoogte $-3$ want $f(x)=-3+\frac{a+b}{x+b}$ (reken maar na). Dus de verticale moet bij $x=-3$ staan. Uit de formule blijkt dat hij bijn $x=-b$ staat, dus moet $b=3$ gelden.
Dus
$$f(x)=-3+\frac{a+9}{x+3} = \frac{-3x+a}{x+3}
$$Dan mag $a$ dus niet gelijk zijn aan $-9$, want dan zou $f(x)=-3$ gelden en dan geldt de symmetrie niet meer.

Verder moet altijd gelden dat voor alle $x\neq-3$ niet alleen $(x,f(x))$ maar ook $(f(x),x)$ grafiek ligt, en dat laatste betekent dat $f(f(x))$ gelijk moet zijn aan $x$. Er geldt
$$f(f(x))=\frac{-3f(x)+a}{f(x)+3}
$$Als je dat laatste netjes uitwerkt kom je uit op
$$\frac{(9+a)x}{9+a}
$$en omdat $a\neq-9$ is dat gelijk aan $x$; je moet dus $a=-9$ uitsluiten, alle andere waarden zijn toegestaan.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 18 januari 2025

Re: Functies