WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Machtreeks sinus en nauwkeurigheid

Dit is een reactie op vraag 2856

De gegeven Taylorreeks is een reeks rond x=0. Als je de reeks afkapt, dan neemt de fout toe als je verder van 0 komt.

Bedenk: de raaklijn in x=0 (eerste graads Taylor benadering: sin(x) = x) is alleen zinvol in de buurt van x=0, bij meer termen wordt de benadering beter maar dan geldt hetzelfde.

Een algemene uitspraak over de nauwkeurigheid kun je op deze manier dus niet maken. Ik kan me van mijn wiskundecolleges van lang geleden herinneren dat een bovengrens van de fout na afkappen na n termen bepaald kan worden uit de maximale waarde van de volgende term op een tussenpunt (tussen 0 en de waarde van x) (dus van de n+1-ste afgeleide). Het bewijs ging via de middelwaardestelling.

Zoek op internet op 'cut off taylor series error' dan vind je een formule voor de fout R(x) (R is van residue denk ik)
Anton van Uitert
Docent - zaterdag 7 september 2024

Antwoord

Dat klopt bijna allemaal, op "de volgende term" na. Die moet je niet hebben, maar een aangepaste vorm:
$$\frac1{(n+1)^!} f^{(n+1)}(\alpha)\cdot x^{n+1}
$$met $\alpha$ tussen $0$ en $x$.

Voor de sinus en cosinus is het wat makkelijker omdat $|\sin\alpha|$ en $|\cos\alpha|$ niet groter dan $1$ zijn en je alleen met $\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ te maken hebt.
Zie dit artikel uit Pythagoras voor dit speciale geval.

Wikipedia: Stelling van Taylor

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 7 september 2024