WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Afleiding somformules van rekenkundige en meetkundige rijen

Hoi,
Ik ken helemaal het principe van het integraalrekenen, maar ik ben eens wat beginnen spelen met rijen.
ALs ik een rij grafisch voorstel dan kan men 3 gevallen onderscheiden.
De rekenkundige rij, waarbij men een interval heeft dat oftewel een positief oftewel een negatief getal is.
Het is een som of verschil, dus als je dat grafisch gaat voorstellen dan krijgt men een rechte, als het door de oorsprong is was de eerste term 0.
Voor de duidelijkheid, ik neem als x-as Un (ook soms Tn genoemd) dat voldoet aan Un=U1+(n-k)*V
U1 = de eerste term
n=het aantal 'stapjes' tot de laatste term
k=(meestal 1)eerste stapje
V=verschil.
Sorry dat ik er zo'n potje van maak maar ik zal to the pointe komen.
Om de soms van het aantal voorgaande termen te berekenen heeft men de formule
Sn=n*((U1+Un)/(2)
Nu denk ik dat'k begin te begrijpen waar die '2' vandaan komt.
De oppervlakte die zich onder de rechte met een rekenkundig voorschrift bevind is de som van de n termen.
Voor de makkelijk heid neem ik eerste term =0.
Dan is de oppervlakte een driehoek; dus normaal rechthoek en dan door '2'.
Oké nu ben ik er.
Als ik nou een meetkundige rij neem, dan is het verschil een product of een qoutiënt.
Ik neem weeral voor de makkelijkhied een product.
De grafische interpretatie is nu geen lineaire groei maar een exponentiële groei.
Dus grafisch geeft het een kromme.
En als men dan op de zelfde manier de som van de termen gaat berkenen, is dit schijnbaar niet echt juist.
Want de termen zijn gehele getallen, dus rechthoekjes en het grafisch verloop is een kromme.
Als ik ook maar iets over integralen lees staat er telkens iets in over benadering van oppervlakte door middel van rechthoekjes.
Heeft dit dan hier iets mee te maken?
Dank je,
Ruben
(sorry voor de omweg)

Ruben
2de graad ASO - zondag 13 april 2003

Antwoord

De afleiding van de somformule van een rekenkundige of meetkundige rij kun je het beste gewoon met getallen uitvoeren. Die integraalgedachte maakt het alleen maar moeilijker !

Neem un=u1+(n-1)·v. We berekenen de som Sn: Schrijf eerst de rij uit en zet hem omgekeerd eronder.

u1        +       u1+v     +    u1+2v + ..........+ u1+(n-2)v + u1+(n-1)v
u1+(n-1)v + u1+(n-2)v + u1+(n-3)v...........+ u1+v   +   u1
______________________________________________________________ +
2u1+(n-1)·v + 2u1+(n-1)v +....................+ 2u1+(n-1)v + 2u1+(n-1)v

Allemaal dezelfde termen dus en dat n keer. Maar nu heb je de som dubbel $\Rightarrow$ dus Sn = n·(u1 + ¹/₂·(n-1)·v)

Sn=n·((u1+un)/2. Hierin is (u1+un)/2 gewoon de gemiddelde waarde van de termen in de rij, als je dit met n vermenigvuldigt krijg je ook de som van de rij.

Een meetkundige rij gaat als volgt: un=t₁·r^n-1
We berekenen de som Sn: Schrijf eerst de rij uit, vermenigvuldig de hele rij met r en schrijf hem nogmaals uit (plaats hem schuin onder rij 1):

t₁ + t₁·r + t₁.r² + ............+ t₁·r^n-2 + t₁·r^n-1 (= Sn)
       t₁·r + t₁.r² + t₁.r³ ................ + t₁·r^n-1 + t₁·rⁿ (= r·Sn)
___________________________________________________________ -
t₁ + 0 + 0 ................................... + 0 - t₁·rⁿ

Wanneer je de somrijen van elkaar aftrekt dan krijg je dus:
Sn-r·Sn = t₁(1-rⁿ) ofwel (1-r)Sn = t₁(1-rⁿ) ofwel Sn=t₁(1-rⁿ)/(1-r).

Met vriendelijke groet

JaDeX

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 13 april 2003

Re: Afleiding somformules van rekenkundige en meetkundige rijen