WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integraal met wortel

Ik begrijp dat de oplossing (9/wortel(5)) maal de ln van de absolute waarde van wortel(5) maal x + wortel (5x^2-16) is, maar zou de oplossing ook 9/(wortel(5) maal i) maal de Bgsin van (wortel(5) maal x / 4) kunnen zijn? Als je de wortel van -16 afsplitst in het begin krijg je 4i met i^2=-1 toch?
OPA
3de graad ASO - woensdag 10 mei 2023

Antwoord

Dat geeft problemen als je dit gebruikt om bepaalde integralen over reele intervallen uit te rekenen.
In
$$\int\frac{9}{\sqrt{5x^2-16}}\,\mathrm{d}x
$$hebben we het over $x$-en waarvoor $5x^2-16\ge0$, en dus $|x|\ge\frac{4}{\sqrt5}$.
Maar in
$$\operatorname {Bgsin}\frac{\sqrt5 x}{4}
$$moet juist gelden dat $|x|\le\frac{4}{\sqrt5}$. Dat is vervelend. En dan hebben we het ook nog niet over de $i$ in het antwoord; die maakt een reëel antwoord imaginair.

Overigens kan het wel; in de Complexe Analyse kun je $\operatorname {Bgsin}$ in de logaritme uitdrukken:
$$\operatorname {Bgsin} z = \frac1i\log(iz+\sqrt{1-z^2})
$$maar daar moet je heel voorzichtig mee zijn want logaritmen en wortels hebben meer dan één waarde in het complexe vlak.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 10 mei 2023