WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Getallenparen

Dit is een reactie op vraag 93118

Om te beginnen wil ik U zeggen, dat ik U heel dankbaar ben voor uw uitgebreid en zeer verzorgd antwoord. U begrijpt, dat ik geen wiskundige van professie ben en alles moet proberen te begrijpen vanuit een toestand van onwetendheid.

Uw opmerking, dat een wiskundige in het algemeen geen onderscheid maakt tussen isomorfe structuren, is voor mij zeer verhelderend en dat maakt duidelijk waarom men kan schrijven

a(1,0) + b(0,1) = a + bi

in plaats van gebruik te maken van het teken met drie horizontale streepjes.

U tegenvraag, wat i dan wel voor moet stellen is natuurlijk volkomen terecht. Voor mij zelf had ik die vraag beantwoord door eenvoudig aan te nemen, dat het niet mogelijk is van i een voorstelling te maken net zoals dat bijvoorbeeld niet mogelijk is van het begrip oneindig ¥. Als het niet mogelijk is om van een wiskundige entiteit een voorstelling te maken komt de vraag wel op of die entiteit logisch wel mogelijk is en ik dacht, dat dat de reden was om het getal i te definiëren in termen van een verzameling van getallenparen, maar dat is kennelijk niet zo.

Als het mag dan heb ik nog wel een vraag. In het boek wordt als voorbeeld voor hoe men te werk gaat eerst een definitie gegeven van de verameling van de rationele getallen en daarbij wordt onder meer gebruik gemaakt van de eigenschap:

(a,b) + (c,d) = (ad + bc, bd)

Deze eigenschap is gewoon een formele beschrijving voor de regel die geldt voor het optellen van breuken. Nu wordt voor de definitie van de complexe getallen gebruik gemaakt van de regels

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

en

(a,b) * (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Mijn vraag is waar komen die regels vandaan?
Ad van
Docent - maandag 20 december 2021

Antwoord

Die vraag kan op meer niveaus bentwoord worden.

1. Op het informele niveau: eerst doen alsof we een individu als $i$ hebben en daar mee werken, met inachtneming van de bekende rekenregels plus de eis $i^2=-1$. We krijgen dan in ieder geval dingen van de vorm $a+bi$ en de commutatieve en distributieve wetten (die we willen behouden) leiden tot $a+bi+c+di= a+c+bi+di=(a+c)+(b+d)i$; evenzo leidt haakjes wegwerken tot $(a+bi)(c+di)$ tot $(ac-bd)+(ad+bc)i$. Hierdoor wordt de wens de vader van de gedachte: als we in plaats van $a+bi$ gewoon $(a,b)$ schrijven en optelling en vermenigvuldiging definiëren als gesuggereerd door de berekeningen dan hebben we `complexe getallen' zonder het mysterieuze symbool $i$ gemaakt.

2. De definities van Wessel leiden na invoering van coördinaten tot deze formules.

3. In de Algebra komen de complexe getallen tevoorschijn als lichaamsuitbreiding van het lichaam der de reële getallen op een welbepaalde manier, en ook daar krijgen we deze formules voor de neus.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 21 december 2021

Re: Re: Re: Getallenparen