WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: De wortel van elk priemgetal is irrationaal

Dit is een reactie op vraag 3643

Wanneer ik de term 'getal' gebruik heb ik het over natuurlijke getallen ofwel gehele getallen.

Ten eerste even dit: Ieder getal is te ontleden in priemfactoren. D.w.z. dat je ieder getal in een product van 1 of meer priemgetallen kunt schrijven. Voorbeeld: 306 = 2 x 3 x 3 x 17. (Priemgetallen zijn per definitie niet verder in priemfactoren te ontleden; 13 = 13)

Stel nu dat p een priemgetal is en we willen dus aantonen dat $\sqrt{p}$ niet te herschrijven is als een breuk van 2 getallen. Ik ga dat aantonen vanuit het ongerijmde. Ik stel namelijk dat $\sqrt{p}$ wél als zo'n breuk te herschrijven is en ga aantonen dat dat niet kan. Dan is het dus waar dat $\sqrt{p}$ niet als zo'n breuk te herschrijven is. Daar gaat ie....

Als p wel te herschrijven is als zo'n breuk dan is er een teller t en een noemer n waarvoor geldt:
$\sqrt{p}$ = ^t/_n $\rightarrow$ p = ^t²/_n² $\rightarrow$ p x n² = t².

We kunnen n, net als ieder getal, ontbinden in priemfactoren. Het priemgetal p komt een bepaald aantal keren voor als priemfactor van n, 0, 1, 2 keer of wat dan ook. Hoe dan ook, het komt altijd twee keer zo vaak voor in n². Dus het aantal keren dat p als priemfactor voorkomt in n² is altijd even. Evenzo heeft t² ook altijd een even aantal priemfactoren p.

Nu kent de linker zijde van onze laatste vergelijking 'p x n²' altijd een oneven aantal priemfactoren p en de rechter zijde 'r²' altijd een even aantal en dat kan niet. Dus is het tegengestelde van '$\sqrt{p}$ is een breuk van 2 getallen' waar. Daarmee is aangetoond dat de wortel van een priemgetal irrationeel is.
P. Zom
Student hbo - zaterdag 25 april 2020

Antwoord

Hallo,

Dit is inderdaad ook een prima bewijs dat de wortel van elk priemgetal irrationaal is. Het is wel van belang dat elk getal een uniek product is van priemgetallen.

Met vriendelijke groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 25 april 2020