WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs via ladenprincipe

Bewijs dat er een getal is dat louter uit 91-en (9191, 919191, etc.) bestaat, dat deelbaar door 19 is.
Hoe pak ik dit aan?
Sas
Student hbo - vrijdag 10 april 2020

Antwoord

Schrijf even $a_n$ voor het getal dat uit $n$ kopien van $91$ bestaat, dus $a_1=91$, $a_2=9191$, enzovoort.
Deel $a_n$ door $19$ met rest, noem die rest $r_n$, dus $r_n\in\{0,1,\ldots,18\}$.
Bekijk nu $r_1$ tot en met $r_{20}$ dat zijn twintig grepen uit $\{0,1,\ldots,20\}$, maar in die verzameling zitten $19$ getallen. Er zijn dus $i < j$ met $r_j=r_i$, maar dan is $a_j-a_i$ deelbaar door $19$. Bekijk nu dat verschil nog eens goed: het bestaat uit $j-i$ kopien van $91$ en $2i$ nullen en is dus gelijk aan $a_{j-i}\times100^i$. Bewijs nu zelf dat $a_{j-i}$ deelbaar is door $19$.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 10 april 2020