WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Equivalentie van limieten bewijzen

Gegeven is dat we met de volgende limiet definitie werken: \lim_{x \rightarrow a} f(x) = b betekent dat voor \forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0 zo dat (x \in \text{Dom}(f) en d(x, a) < \delta) \Rightarrow d(f(x), b) < \epsilon. (Hierbij geldt dat a \in V, b \in W met V,W metrische ruimten, en dat f: A \subset V \rightarrow W).

Nu wordt gevraagd om te bewijzen \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(a + h). Omdat dit uitspraken zijn en geen getallen, bewijs ik de bi-implicatie.

Ik loop echter vast bij het bewijs voor de implicatie van links naar rechts. Mijn bewijs gaat tot nu toe als volgt (voor het gemak even met f: D \subset R \rightarrow R):

Zij \epsilon > 0 willekeurig. Dat betekent dat er een \delta_0 > 0 en een b \in R zodat als x \in \text{Dom}(f) en |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \epsilon. Neem nu \delta > 0 zodat \delta = \delta_0. Laat verder (a+h) \in \text{Dom}(f) voldoen aan |a + h - a| < \delta. Dan geldt vanwege de hypothese dat |f(a + h) - b| < \epsilon.

We concluderen nu dat \lim_{a + h \rightarrow a} f(a + h) = b. Hier zit echter het probleem want ik heb iets anders bewezen. Mijn docent zegt ook dat dit niet goed is omdat ik niet: "Laat verder (a+h) \in \text{Dom}(f) voldoen aan |a + h - a| < \delta" moet hebben, maar "Kies een h \in R zodat (a+h) \in \text{Dom}(f) en |h| < \delta".

Vervolgens substitueren we x=a+h in de hypothese en concluderen dan \lim_{h \rightarrow 0} f(a + h). Ik snap echter niet waarom dit mag want volgens de gebruikte limiet-definitie moeten de x'en (die we zien bij de definitie) op alle plekken toch gelijk aan elkaar zijn? Dus dat we over dezelfde x praten? Maar blijkbaar is dat niet zo en ik zie niet in waarom.

Hartelijk bedankt.
Marcos
Student universiteit - woensdag 5 februari 2020

Antwoord

Om te beginnen: het helpt als je de uitspraken (meervoud) die achter de gelijkheid \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{h \to 0} f(a + h) (enkelvoud) schuilen expliciet opschrijft. Ik gok dat je `implicatie van links naar rechts' neerkomt op: als \lim_{x\to a}f(x)=b dan \lim{h\to0}f(a+h)=b.

Maar goed; wat echt achter deze opgave zit is het volgende: uit de gegeven functie f:D\to\mathbb{R} wordt een nieuwe functie g gemaakt met als domein de verzameling E=\{h:a+h\in D\} en als definitie g(h)=f(a+h). je moet dus bewijzen: als \lim_{x\to a}f(x)=b dan \lim_{h\to0}g(h)=b.

Je openingszinnen zijn niet helemaal goed: nu lijkt het of b van \epsilon afhangt maar dat is natuurlijk niet zo. Je docent heeft half gelijk: omdat er \lim_{h\to0} staat moet je met hs werken en niet meteen met a+hs; echter: het woord `Kies' in hun zin is onjuist, je hebt niets te kiezen, je moet laten zien dat het voor alle hs goed afloopt.

Ik zou het als volgt opschrijven:

Zij \epsilon>0. Wegens \lim_{x\to a}f(x)=b is er een \delta>0 zó dat voor elke x\in D met |x-a| < \delta geldt dat |f(x)-b| < \epsilon. Laat nu h\in E willekeurig zijn met |h-0| < \delta, dan geldt a+h\in D en |(a+h)-a|=|h| < \delta. Dus volgt |f(a+h)-b| < \epsilon en daarmee ook |g(h)-b| < \epsilon.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 6 februari 2020