WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Optimale oplossing bepalen

Een (brand)kraan is gesprongen en het water stroomt met 1 km per uur alle kanten op. Je bevindt je op 1 km afstand rechts ten opzichte van deze kraan. Ten westen van de kraan op 1 km aftand ligt een bootje waar je gebruik van zou kunnen maken.Wat is de minimale snelheid die nodig is om het bootje te bereiken zonder natte voeten te krijgen.

Overwegingen

Na 1 uur is het water bij de boot. Ik bevind mij op 2 km afstand van de boot dus om de boot tegelijk met het water te bereiken is een min snelheid van 2 km/uur nodig.

Ik kan een cirkelvormige beweging maken om de kraan met een straal van 1 km. In een uur moet dan een halve cirkel afgelegd worden. Dat is dus een afstand van 2·$\frac{\pi}{2}$ = pi.

Met een snelheid van 3.14 km/uur ben ik op tijd bij de boot. Deze oplossing is echter niet optimaal. De waarde zal dus liggen tussen 2 en 3.142 km/uur

Antwoord blijkt circa 2.3325 km/uur te zijn. Hoe kan dit
bepaald worden ?
Dirk L
Ouder - donderdag 9 januari 2020

Antwoord

Je loopt eerst in een rechte lijn naar het noord-westen tot je de bij de groeiende cirkel komt en dan loopt je langs de rand van de cirkel naar het bootje. En dat kan aanzienlijk in tijd schelen.

Het rekent wat makkelijker als je de tijd (de film) achteruit laat lopen, en het is ook wat makkelijker als je startpunt en bootje omwisselt.

Dus we beginnen in $(1,0)$ (daar ligt het bootje nu) met een schijf water met straal $1$. Op tijdstip $0$ begint de schijf te krimpen de straal wordt kleiner volgens $r(t)=1-t$. Je begint langs de rand van het water te lopen met snelheid $v$ en begint een spiraal te maken en op het moment dat het punt $(-1,0)$ recht voor je ligt wijk je van de spiraal af en ga je rechtdoor naar dat punt.

De baan die je aflegt parametriseren we als $t\mapsto(x(t),y(t))$ en we merken twee dingen op: 1) $x(t)^2+y(t)^2=(1-t)^2$ (op tijdstip $t$ ben je $1-t$ van de oorsprong),
en 2) $\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}=v$ (de lengte van de snelheidsvector is gelijk aan $v$).

We kunnen dus schrijven $x(t)=(1-t)\cos\phi(t)$ en $y(t)=(1-t)\sin\phi(t)$ waarbij $\phi$ een functie van de tijd is (de hoek die je positievector met de positieve $x$-as maakt).

Als je $x'(t)$ en $y'(t)$ netjes uitwerkt, kwadrateert, en bij elkaar optelt blijkt er heel wat weg te vallen en je krijgt:
$$v^2=x'(t)^2+y'(t)^2=1+(1-t)^2\cdot\phi'(t)^2
$$Hieruit haal je dat $\phi'(t)=\sqrt{v^2-1}/(1-t)$ (want $\phi$ is stijgend, dus $\phi'$ is positief). Maar dan is $\phi(t)$ snel gevonden: $\phi(t)=-\sqrt{v^2-1}\ln(1-t)$.
Dit betekent dat je langs een logaritmische spiraal gaat lopen (als je even niet aan het punt $(-1,0)$ denkt).

Nu wordt het een kwestie van bruut geweld: bij een vaste $v$ moet je $t$ zo bepalen dat de vectoren $(-1,0)-(x(t),y(t))$ en $(x'(t),y'(t))$ dezelfde kant op wijzen. Dat geeft vervelende vergelijkingen die verder numeriek opgelost moeten worden. Dan moet je, nog steeds voor die ene $v$, de tijd bepalen die het kost om bij $(-1,0)$ te komen.

Vervolgens moet je dit voor verschillende waarden van $v$ doen om het minimum te vinden.

Dan wordt het eigenlijk een mooi programmeerprobleem.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 9 januari 2020