WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Wiskunde grammatica

Dit is een reactie op vraag 88192

Hartelijk dank voor uw reactie.

Uw reactie verheldert het een en ander voor mij, maar ik heb nog wel een aantal vragen. Ik hoop dat u deze ook voor mij zou willen beantwoorden.

Als ik zeg: Wij gaan brood kopen, dan neem ik aan dat iedereen begrijpt dat 'wij' het onderwerp is, 'gaan kopen' het gezegde is en 'brood' het lijdend voorwerp is. Concluderend: Wij zijn diegenen die iets zijn gaan kopen en datgene dat wij hebben gekocht is brood.

Hoe dient men de wiskundige beschrijvingen van verzamelingen te ontleden analoog aan hoe men Nederlandse zinnen ontleedt?

Wat maakt dat u stelt dat beschrijving 1-
{∀𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ | 𝑦 = 2𝑥}
- 'nergens op slaat en u hoopt dat ik hem verkeerd heb overgeschreven'?

En u vervolgens een alternatief geeft dat u denkt dat het zou kunnen zijn, namelijk-
{𝑦 ∈ ℕ | ∃𝑥 ∈ ℕ : 𝑦 = 2𝑥}

U heeft de beschrijving als ik de analogie mag trekken naar de Nederlandse taal 'grammaticaal correct gemaakt'. Ik kan nog niet volgen waarom deze beschrijving nu 'grammaticaal' wel klopt. maar ik hoop dat u mij dat wilt uitleggen.
DIT WAS MIJN EERSTE VRAAG

Daarnaast stelt u dat beschrijving 2 van een verzameling wel correct is genoteerd-
{𝑛 ∈ ℕ|∀𝑚 ∈ ℕ 𝑛 = 2𝑚}

U beschrijft deze verzameling in woorden als volgt:
"de verzameling van alle natuurlijke getallen, n, waarvoor geldt dat deze gelijk zijn aan 2m voor elk natuurlijk getal m,"

En u concludeert hieruit:
"dus: n behoort tot de verzameling als n gelijk is aan 0 en aan 2 en aan 4 en aan 6, ... Geen enkel natuurlijk getal is gelijk aan alle even natuurlijke getallen, dus die verzameling is leeg."

Hoe 'leest' u dat hier uit?-- {𝑛 ∈ ℕ|∀𝑚 ∈ ℕ 𝑛 = 2𝑚}
Graag deel ik mijn ontleding met u en ik hoop dat u aan de hand daarvan mij gericht(er) feedback kunt geven. Corrigeert u mij a.u.b. waar nodig. Ik denk het volgende:

1) {} duidt op een verzameling en de beschrijving van de verzameling staat er tussen in- {beschrijving van verzameling}

2) 𝑛 ∈ ℕ duidt op een verzameling van Natuurlijke getallen (ℕ) en alle elementen (∈) van ℕ noemen wij 𝑛

3)| duidt op een voorwaarde waarvan de beschrijving daarna zal volgen- |voorwaardebeschrijving

4)∀𝑚 ∈ ℕ 𝑛 = 2𝑚-volgt na de symbool|-dit is dus de voorwaardebeschrijving. Hier raak ik de draad kwijt. Hoe moet ik deze beschrijving interpreteren?
DIT WAS MIJN TWEEDE VRAAG

Opvallend detail:
In uw alternatief (beschrijving 1) heeft u een dubbele punt staan na ∃𝑥 ∈ ℕ en bij een andere beschrijving in mijn boek (beschrijving 2) wordt deze niet gehanteerd:
{𝑦 ∈ ℕ | ∃𝑥 ∈ ℕ : 𝑦 = 2𝑥} (beschrijving 1)
{𝑛 ∈ ℕ | ∀𝑚 ∈ ℕ 𝑛 = 2𝑚} (beschrijving 2)
Desalniettemin heeft u beide beschrijvingen kunnen ontleden. Wat maakt dat beschrijving 1 en 2 beiden correct zijn, maar niet beiden een : nodig hebben?
DIT WAS MIJN DERDE VRAAG

Ik zou het op prijs stellen als u uw uitleg laagdrempelig kunt benaderen, gezien het feit ik de 'grammatica' van de wiskundige notatie niet volg.

Ik zie uw reactie graag tegemoet.
Emade
Student hbo - maandag 10 juni 2019

Antwoord

1. De notatie $\{ \dots| \dots\}$ definieert een verzameling als volgt: voor de streep staat een variabele die de elementen van de te definiëren verzameling representeert. Strikt genomen moet dit er als volgt uitzien $\{y \mid\ldots\}$. De verticale streep $\mid$ geeft aan dat de voorwaarde komen waar de $y$-en aan moeten voldoen, je kunt hem lezen als `waarvoor geldt' dan komen de eisen. In het onderhavige voorbeeld zou dat zijn `$y\in\mathbb{N}$ en $\exists x\in\mathbb{N}: y=2x$; het symbool $\exists$ lezen we als `er bestaat een'. In zijn geheel krijgen we
$$
\{y\mid y\in\mathbb{N}\text{ en }\exists x\in\mathbb{N}: y=2x\}
$$De leesregels geven nu "de verzameling van individuen $y$ waarvoor geldt $y$ is een natuurlijk getal en er bestaat een natuurlijk getal $x$ zó dat $y=2x$".
In de praktijk wordt dit iets korter opgeschreven:
$$
\{y\in\mathbb{N}\mid \exists x\in\mathbb{N}: y=2x\}
$$Dit is formeel een afkorting van de eerdere beschrijving maar vrijwel iedereen weet dat en het leidt nooit tot verwarring. Je leest het bijna als de uitgebreidere formulering: "de verzameling van die natuurlijke getallen $y$ waarvoor een natuurlijk getal $x$ bestaat met $y=2x$".
Jouw eerste formulering is niet correct omdat die kantoren daar niet horen; de meeste wiskundigen lezen jouw formulering als " de verzameling dingen van de vorm `$\forall y\in\mathbb{N}\exists x\in\mathbb{N}$' waarvoor geldt $y=2x$" en dat slaat nergens op.

2. $\forall m\in\mathbb{N}:n=2m$ betekent letterlijk "voor elk natuurlijk getal $m$ geldt $n=2m$", niets meer en niets minder. Dus deze verzameling bestaat uit die natuurlijke getallen $n$ met de eigenschap dat voor elk natuurlijk getal $m$ geldt dat $n=2m$.

3. Dit is een kwestie van stijl; sommige schrijvers gebruiken bijvoorbeeld een $:$ om de kwantor te scheiden van wat erna komt, anderen, zoals de schrijver van je boek, vinden dat niet nodig. Ik heb de $:$ ingevoegd voor de leesbaarheid. In mijn eigen werk zou ik het zo schrijven
$$
\bigl\{y\in\mathbb{N}\mid (\exists x\in\mathbb{N})(y=2x)\bigr\}
$$en
$$
\bigl\{n\in\mathbb{N}\mid (\forall m\in\mathbb{N})(n=2m)\bigr\}
$$Die haakjes maken, voor mij, het ontleden van de formuleringen wat makkelijker.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 10 juni 2019

Re: Re: Wiskunde grammatica