WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Verdelen van ruimtefiguren

Is het mogelijk om een ruimtefiguur te delen in twee nieuwe ruimtefiguren zodat zowel de som van de oppervlaktes als ook de som van de volumes gelijk is aan de ruimtefiguur voor deling.

Naschrift
Voor de verdeling van bijvoorbeeld een kubus in twee gelijke delen, is het makkelijk in te zien dat je twee nieuwe vlakken creëert die aan de buitenkant liggen. (Stel maar dat je de kubus als het ware in twee snijdt). Maar stel dat je van een kubusvormig object graag twee objecten maakt in eender welke vorm dus bijvoorbeeld naar twee bollen...
Is het dan mogelijk om zowel de inhoud als de oppervlakte van de ruimtefiguur te behouden?

xander
Iets anders - zondag 9 juni 2019

Antwoord

Hallo Xander,

Ja, dit is mogelijk, maar niet bij elke ruimtefiguur. Laten we de vraag eerst maar eens omdraaien: kan je van twee ruimtefiguren met een zeker gezamenlijk volume en oppervlakte één nieuw ruimtefiguur maken waarbij het totale volume en oppervlakte constant blijft? Wanneer dit kan, dan is de weg terug ook mogelijk.

Neem als voorbeeld twee gelijke bollen van klei. Wanneer we deze hompen klei samenvoegen tot één grote bol, dan is het volume constant gebleven, maar de totale oppervlakte is kleiner geworden. Wanneer we vervolgens deze nieuwe homp uitrollen, dan kunnen we bij gelijkblijvend volume de oppervlakte weer groter maken, zelfs willekeurig groot. Desnoods drukken we een hoop kuilen in de kleihomp. Op zeker moment hebben we dus een ruimtefiguur waarvan de inhoud en oppervlakte gelijk zijn aan die van de oorspronkelijke twee bollen.
De weg terug is dan ook mogelijk.

Echter, deze weg terug is niet altijd mogelijk. Stel dat we starten met één grote bol van klei. Wanneer we deze opdelen in twee kleinere bollen, dan is het volume weer gelijk gebleven, maar de totale oppervlakte is groter geworden. Helaas is bij een bol de oppervlakte bij gegeven inhoud minimaal. Elke vervorming van de twee kleinere bollen leidt alleen maar tot nog grotere oppervlaktes. Het zal dus niet lukken om de bol in twee kleinere ruimtefiguren op te delen waarbij volume en totale oppervlakte constant blijven.

Conclusie:

Je ruimtefiguur is alleen op te delen in twee nieuwe (gelijke, zie opmerking hieronder) ruimtefiguren met dezelfde totale inhoud en oppervlakte wanneer de oppervlakte voldoende groot is ten opzichte van de inhoud. Wanneer ik goed gerekend heb, moet bij een zekere inhoud I de oppervlakte O minimaal zijn:

O_min=³√(9$\pi$I²)

In dat geval kunnen van de ruimtefiguur twee gelijke bollen worden gemaakt met optimale verhouding tussen inhoud en oppervlakte.

Opmerking:

Bij dit antwoord ben ik ervan uitgegaan dat je de ruimtefiguur wilt opdelen in twee nieuwe, gelijke ruimtefiguren. Wanneer je een zeker volume wilt opdelen in twee bollen met stralen r₁ en r₂, dan blijkt dat de som van de oppervlaktes minimaal is wanneer r₁=0 of r₂=0, maar dan heb je maar één ruimtefiguur en heb je dus niet opgedeeld.
Wanneer je een grote bol opdeelt in twee nieuwe bollen, dan kan je het verschil tussen de oorspronkelijke oppervlakte en de som van twee nieuwe oppervlaktes willekeurig klein maken wanneer je de straal van één van de nieuwe bollen willekeurig klein maakt. Dat betekent dat je een niet bolvormige ruimtefiguur altijd op de gevraagde wijze kunt opdelen in twee bollen. Immers:
Hervorm het gegeven volume tot een bol. De oppervlakte wordt kleiner.
Neem uit deze bol een (klein) volume, hervorm de twee nieuwe volumes tot bollen.
Door een willekeurig klein volume uit de oorspronkelijke bol te halen, kan je de totale oppervlakte altijd kleiner maken dan de oorspronkelijke oppervlakte.
Door 'uitrollen' van de nieuwe bollen kan je de nieuwe oppervlakte altijd groter maken dan de oorspronkelijke oppervlakte.
Conclusie:

Elke niet-bolvormige ruimtefiguur is op te delen in twee nieuwe ruimtefiguren, zodanig dat totaal volume en oppervlakte gelijk blijven.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 10 juni 2019