WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

DV met variabele coëfficiënten

Goede avond,
Ik, ondervind toch veel problemen rond de DV's van de soort in de hoofding gemeld.bn .Vorm DV y"+Ry'+Sy=F
y"-(1/t)y'+(1/t²)y=t
Voor de eerste oplossing neem ik :
R+St=0 als -1/t+1/t²*t= -1/t+1/t=0
De eerste oplossing is dan y(1)=t
De tweede oplssong moet steeds kunnen gevonden worden:
IK probeer :
y=tv
y'= v't+t'v= tv'+v want: t'=dt/dt
y'=v't+v (1)
y"= v"t+t'v+v'= t'=1 =dt/dt!!)
y"=v"t+2v' (2)
(1) en (2) invoeren in de gegeven DV leidt tot:
(v"t+2v')-(1/t)(v't+v)+1/t²(tv)=0 2 de lid nul voor oplossing homogenen vergelijking
Uitwerking en schrapping:
v"t+2v'-v'-v/y+v/t=0
en
v"t+v'=0 (3)
Stel u=v' (4) dan is
u't+u=0 en Integraal d(ut) =0
of tu=C
u=C(1)/t en u=v'=C(1)/t en v= C(1)Integr dt/t
v= C(1)(ln(t)+D)
en y=tv= t(C(1)lnt+D)=
y=C(1)tlnt +Dt (5)
STelsel : y(p) particulier oplssing
y((p)=v(1)t+v(2)tlnt (6)
y'(p)= v(1)t'+v(2)ln(t)+v(2)t(1/t)+v'(2)tln(t)+v'(1)t=0
De twee laatste termen vallen weg omdat er al t en tln(t) in voorkomt als oplossing.
y"(p)=v'(1)+v'(2)+v'(2)ln(t)+v(2)(1/t)
Invullen in de DV
(v'1)+v'(2)ln(t)+v(2)/t)-1/t((v(1)+v(2)+v(2)ln(t))+1/t²(v(1)y+v(2)tln(t)=t
Uitwerken en schrappen geeft
v'(1)+v'(2)+v'(2)ln(t)=t (7)
Terug naar stelsel
tv'(1)+v'(2)(tln(t))=0 ((8)
tv'(1)+tv'(2)+v'(2)tlnt=t² (9)x (t) vermenigvuldigd
Trekken we (9)af van (8) komt er ,dan vinden we na schrapping:
tv'(2)=t²
v'(2)=t (10)
v(2)=INT tdt= t²/2 +C(1)
y=tv=t(t²+c)
y= (t^3)/2+C(1)t (11))
tv'(1)+v'(2)(tln(t))=0 (10)in (8)
tv'(1)+t²ln(t)=
v'(1)+tln(t)=0 (:t)
v'(1)= -tlnt
v(1)= -INT((tln(t))dt))=-(t²ln(t)-t²/4+C(1)
y=tv=t(t²ln(t)-t²/4+C(2)
y=t^3ln(t)-t^3/4 +C(2)t
y=t^3(ln(t)-1/4)+c(2)t
Terug naar y(p)=v(1)t +v(2)(tln)(t))
y(p) = t((-t²ln(t)+t²/4 -C(2))+(tln(t))((t²/2+C(2))
y(p)=-t^3ln(t)+t^3/4 -C(2)t+t^3(ln(t)/2+C(2)t(ln(t))
De oplossing is na controle en Wolfraam juist bevonden.
Ze luidt=y=C(1)t+C(2)(tln(t))+t^3/4 Maar deze laatste term is in mijn laatste regel ook zichtbaar
Dit soort DV's is voor zelfstudie toch erg lastig maar ik blijf toch doorgaan met moeite te doen..
Wat is er fout.??
Groetjes en wat kan anders of beter als oplossing?
Rik
Rik Le
Iets anders - zondag 27 januari 2019

Antwoord

Naast hier en daar wat constanten die af en toe van naam veranderen zie ik maar één echt foutje
$$v_1(t)=\int{-}t\ln t\,\mathrm{d}t=-\frac12t^2\ln t+\frac14t^2
$$die factor $\frac12$ heb je niet; als je die correctie toepast is je $y_p$ verder goed.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 28 januari 2019