WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Casino

Goededag.

Ik ben sterk van mening dat wanneer mensen 1 stuk 6 keer inzetten op de roulette tafel dit dezelfde kans geeft als wanneer iemand 6 stuks tegelijk inzet.

Tot zover heb ik het uitgewerkt als volgt;

P(probablity) = 1/37 x 6

Tegenover;

P = 6/37

Echter is niet iedereen het met mij eens en mis ik de wiskundige formule dit te onderbouwen.

Geduldig wacht ik op het verlossend antwoord :)
Wesley
Iets anders - dinsdag 18 december 2018

Antwoord

Hallo Wesley,

Wanneer je de kans op een gebeurtenis wilt berekenen, dan is het erg belangrijk om goed te specificeren wat de gebeurtenis precies is waarvan je de kans op voorkomen wilt berekenen. Wanneer je dit niet zorgvuldig doet, dan ontstaan misverstanden.

Zo ook hier: wat is 'de' kans? Bedoel je de kans op één keer winnen? Of de kans dat je in ieder geval één keer wint? Of de kans dat de 6 ingezette munten alle 6 een uitbetaling opleveren? Of de kans op het winnen van een bepaald bedrag? Wanneer verschillende mensen aan verschillende of juist aan dezelfde gebeurtenis denken, dan is het niet zo vreemd dat sommige mensen het met elkaar eens zijn en anderen het onderling oneens zijn.

Ik vermoed dat je wilt weten wat op de lange duur het voordeligst zou zijn: wanneer je heel vaak 6 munten inzet, kan je dan beter steeds 1 munt tegelijk inzetten bij 6 achtereenvolgende rondes, of kan je beter steeds 6 munten tegelijk op één nummer inzetten, of maakt dit niet uit?

Het antwoord op deze vraag is: het maakt niet uit. Voor beide strategieën kunnen we de verwachtingswaarde van de uitbetaling berekenen. De verwachtingswaarde is de gemiddelde uitkomst wanneer het kansexperiment heel vaak wordt uitgevoerd.

Voor de strategie met steeds 6 munten op één nummer is de verwachtingswaarde gemakkelijk te berekenen. De kans dat het balletje op het gekozen nummer valt, is 1/37. Wanneer dit gebeurt, dan is de uitbetaling 36 keer de inzet van 6 munten, dus 216 munten. De gemiddelde uitbetaling per spel is:

(1/37)·216=5,8378 munten.

Voor de strategie met 6 keer één munt tegelijk in opeenvolgende rondes is de verwachtingswaarde lastiger te berekenen. We moeten onderscheid maken tussen de gebeurtenissen dat er geen enkele keer wordt gewonnen, 1 keer wordt gewonnen, 2 keer, 3, 4, 5, of 6 keer wordt gewonnen. Het aantal keer winnen is binomiaal verdeeld met p=1/37 n=6, en k=0, 1, 2, 3, 4, 5 of 6 keer:De uitkomsten zijn:
p(0 keer winnen): 0.84840781479
p(1 keer winnen): 0.14140130246
p(2 keer winnen): 0.00981953489
p(3 keer winnen): 0.00036368648
p(4 keer winnen): 0.00000757680
p(5 keer winnen): 0.00000008419
p(6 keer winnen): 0.00000000039

De bijbehorende uitbetalingen zijn 0, 36, 72, 108, 144, 180 resp. 216 munten. Voor de verwachtingswaarde van de uitbetaling vermenigvuldigen we elke kans met de bijbehorende uitbetaling, en deze bedragen tellen we op. Het resultaat is: 5,8378 munten. Precies hetzelfde dus als bij de eerste strategie!

Wellicht denk je dat het dus niet uitmaakt welke strategie je volgt. Dat is niet helemaal waar. Dit zou kloppen wanneer je het spel zeer, zeer veel keer zou spelen. Maar we spelen het spel een beperkt aantal keer. Stel dat één groep spelers kiest voor de 1-munt-per-keer-strategie en een tweede groep kiest voor de 6-munten-per-keer-strategie. Beide groepen spelen een tijdje. Dan valt te verwachten:
Bij de 1-munt-per-keer-strategie hebben aardig wat spelers een bescheiden verlies, aardig wat anderen hebben een bescheiden winst.
Bij de 6-munten-per-keer-strategie hebben meer spelers een groter verlies, maar enkelen hebben een forse winst.
In de tweede groep is de kans op verlies groter, maar als je toevallig wint, dan is de winst wel groter. Dit is zodanig dat de gemiddelde uitbetaling in de groepen hetzelfde is. Het is maar net tot welke groep je wilt horen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 18 december 2018