WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Meetkundige plaats middelpunt ingeschreven cirkel van een variabele driehoek

Formulerig opgave: Door een verplaatsbaar punt M op de cirkel K(O,r) trekt men de koorden MP en MQ resp. evenwijdig aan de richtingen m1 en m2. Wat is de meetkundige plaats van het middelpunt van de cirkel, beschreven in de driehoek MPQ?

Voorafgaande analyse m.b.v. GeoGebra: Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van driehoek MPQ wordt gevonden door het snijpunt I te bepalen van 2 bissectrices (bijv. van uit P en Q) van die driehoek MPQ.

Ik tekende dan de cirkel (K) en positioneerde M op die cirkel; vervolgens bepaalde ik P resp. Q op (K), zodanig dat MP resp. MQ de richting m1 resp. m2 had. Ik liet dan M in wijzerzin bewegen op (K) en stelde dan vast dat de punten Q en M dan samenvallen in het punt A (zie ook bijgaande figuur). De raaklijn in A aan (K), heeft dan de richting m2 en AP richting m1. De driehoek MPQ ontaardt dan in een lijnstuk AP. Het snijpunt I valt dan samen met A.

Nadien liet ik M in tegenwijzerzin bewegen op (K); stilaan naderden de punten M en P naar elkaar toe en vielen samen in B. De raaklijn in B aan (K), heeft dan de richting m1 en het lijnstuk BQ de richting m2. De driehoek MPQ is dan terug ontaard en het snijpunt I van de bissectrices uit P en Q, valt samen met B.

Het is evident dat er nog een tweede punt moet bestaan, waar de raaklijn aan (K) de richting m1 resp. m2 heeft.

Die punten kunnen meteen worden gevonden via een puntsymmetrie t.o.v. het punt O (middelpunt cirkel (K)). Het punt A wordt dan omgezet in C en het punt D. De lijnstukken AC en BD zijn dan diameters van de cirkel (K).

Verder is het bekend dat het snijpunt I van 2 bissectrices in een driehoek, nooit buiten de driehoek kan liggen, dus zeker ook niet buiten de cirkel (K). Enkel in vier gevallen komt I op (K) te liggen, nl. als driehoek MPQ ontaardt in een lijnstuk.

Op de boog AB plaatste ik een extra punt M' en van daar uit de driehoek M'P'Q'.

MP en M'P' zijn dan evenwijdige koorden in de cirkel (K) en dit heeft tot gevolg dat de bissectrices uit Q door een vast punt moeten gaan, en op de figuur is te zien dat dit het punt B moet zijn.

Analoog zijn MQ en M'Q' evenwijdige koorden van (K); dit betekent dat de bissectrices uit P ook door een vast punt zullen gaan en op de figuur is te zien dat dit het punt A zal zijn.

De bissectrices PA en QB snijden elkaar in I, en maken daar een hoek alpha (zie figuur). De grootte van die hoek blijkt constant als M beweegt op de boog AB. M.a.w. het snijpunt I ligt op een boog van een cirkel N1 (zie terug figuur). Enkel de boog AIB (rode kleur) of mp1, komt in aanmerking. Door een puntspiegeling t.o.v. O, uit te voeren op mp1, krijgt men de boog mp1' met grenspunten C en D.

Men kan dan volledig analoog redeneren voor een punt M gelegen op de boog BC. Dit resulteert dan in een derde boog van een cirkel dat tot meetkundige plaats zal behoren en via dezelfde puntspiegeling volgt er nog een vierde boog die tot de meetkundige plaats zal behoren. Deze stukken werden in de figuur niet opgenomen.

De omgekeerde redenering nodig bij het opzoeken van een meetkundige plaats, lukte perfect. (als T gelegen is op één van de 4 bogen, dan kon ik aantonen dat hiermee een driehoek correspondeert, waarbij PT resp. QT richting m1 resp. m2 heeft.)

VRAAG: Via GeoGebra kon ik via meting aantonen, dat de hoek alpha constant blijft, maar wiskundig gezien lukt het mij niet om dit aan te tonen. Hoe slaag ik er in om dit aan te tonen? Graag een essentiële tip! Bedankt bij voorbaat!
Yves D
Iets anders - woensdag 25 juli 2018

Antwoord

Hallo Yves,

Merk op dat $\angle PMQ = \angle P'M'Q'$. Derhalve is ook $\angle MPQ + \angle PQM = \angle M'P'Q' + \angle P'Q'M'$ en natuurlijk ook $\frac 12 \angle MPQ + \frac 12 \angle PQM = \frac 12 \angle M'P'Q' + \frac 12 \angle P'Q'M'$. Dit vertelt je als het goed is voldoende om te laten zien dat $\alpha = \angle PIQ = \angle P'I'Q'$.

Met vriendelijke groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 12 augustus 2018