WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Meetkundige plaats van het midden van een bewegend lijnstuk

Opgave:
Twee cirkels K1(M, R) en K2(N, r) snijden elkaar in S en T. Men trekt door S een rechte p die (K1) snijdt in A en een rechte q eveneens door S, maar loodrecht op p, die (K2) snijdt B. Wat is de meetkundige plaats van het midden van het lijnstuk AB.

a) Rechtstreeks:

Ik maakte vooraf een gedetailleerde figuur, waarbij ik een zestal bijzondere standen onderzocht van de rechten p en q.

klik voor een vergroting
Praktisch komt het er op neer dat p kan raken in S aan (K1) resp. (K2); p kan ook de normaal zijn in S aan (K1) resp. (K2); verder kan p evenwijdig zijn met MN resp. orthogonaal staan op MN (p gaat dan zeker door T). Op die manier kom ik aan de rechten p1 t/m p6 resp. q1 t/m q6. Dit leidt dan tot zes bijzondere A-punten alsook zes bijzondere B-punten. De middens van die zes AB-lijnstukken resulteren dan in de punten P1 t/m P6. Deze punten behoren dan al zeker tot de grafiek die we dan achteraf zullen interpreteren als punten van de gezochte meetkundige plaats.

Via deze voorafgaande constructie kon ik al aantonen dat de vaste punten M en N overeen stemmen met middens P2 resp. P3 van de lijnstukken A2B2 resp. A3B3. De gezochte grafiek gaat dus al zeker door de vaste punten M en N. Uit al deze elementen volgt al dat de gezochte grafiek een cirkel zal zijn met middellijn MN, maar da's natuurlijk nog geen bewijs.

Vervolgens koos ik door S een willekeurige stand van p (en q orthogonaal met p in S). Dit resulteert dan in de punten A en B alsook P (midden van AB). Om nu aan te tonen dat de gezochte grafiek een cirkel was, probeerde ik twee opties:

1/ ik noteerde het midden O van MN en probeerde aan te tonen dat driehoek OMP gelijkbeneig was, dus in hoeverre is OM = OP. Als dat zo is volgt OP = constante daar OM een vast lijnstuk is.

2/ Ik probeerde aan te tonen dat de hoek(MPN) een rechte hoek is!

Beide opties lukten mij niet echt, ook al is het grafisch op zicht duidelijk dat het wel zo is.

b) Omgekeerd: Kies een willekeurig punt Q van de cirkel mp1, dan moet worden aangetoond dat Q het midden is van een lijnstuk A'B', waarbij SA' en SB' orthogonaal zijn! Dit laatste deel lukte mij wel.
Uit beide delen kan je dan finaal besluiten dat mp1 de gezochte meetkundige plaats is.

Mijn VRAAG: hoe slaag ik er in om bijvoorbeeld aan te tonen dat de hoek(MPN) een rechte hoek is? Graag een tip die mij kan verder helpen. Bedankt voor jullie tussenkomst!
Yves D
Iets anders - vrijdag 22 juni 2018

Antwoord

dag Yves

Je bent al flink aan het onderzoeken geweest.
Toch is het misschien handig om even van voorafaan te beginnen.
Noem P het midden van AB
In $\Delta$ASB is hoek S recht.
P is dus het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\Delta$ASB
Wat betekent dat voor |AP|, |PB| en |PS|?
Bekijk $\Delta$APS. Wat weet je dus van deze driehoek?
Wat betekent dat voor de lijn PM?
Kom je dan verder?
Succes,

Anneke

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 25 juni 2018