WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Modulus

Beste

We hebben net bewezen dat de som van de kwadraten van de natuurlijke getallen gelijk is aan 1/6·n·(n+1)·(2n+1). Dit begrijp ik, maar dan kwam de prof af met 'de modulus'.

Hij noteerde dit over de somformule op bord:

n: n = 0 mod 3
2n+1: n = 1 mod 3 dus 2n = 2 mod 3 dus 2n+1 = 0 mod 3
n+1: n = 2 mod 3

Hoe komt die aan al deze getallen? Ik zie niet in hoe je aan de modulusnotatie komt...

Alvast bedankt!
Emily
Student Hoger Onderwijs België - maandag 9 april 2018

Antwoord

Het lijkt erop dat de 'prof' wilde bewijzen dat n·(n+1)·(2n+1) deelbaar is door 3.
n mod p betekent: de rest bij deling van n door p.
Hij loopt nu drie mogelijkheden af:
n is deelbaar door 3 (dus n mod 3=0), dan is n·(n+1)·(2n+1) ook deelbaar door 3

De deling van n door 3 heeft rest 2, (dus n mod 3=2):
dan is n+1 dus deelbaar door 3 en dan is n·(n+1)·(2n+1) ook deelbaar door 3

De deling van n door 3 heeft rest 1 (dus n mod 3=1)
Begrijp je dat 2n dan rest 2 heeft bij deling door 3?
En begrijp je dan dat 2n+1 deelbaar is door 3?
Maar dan is n·(n+1)·(2n+1) ook deelbaar door 3.

Ik denk eigenlijk dat de bedoeling van de exercitie was om aan te tonen dat
n·(n+1)·(2n+1) deelbaar is door 6.
Deelbaar door 3 weten we nu dus al.
En als n even is dan is n·(n+1)·(2n+1) natuurlijk deelbaar door 2.
Als n oneven is dan is n+1 deelbaar door 2.

Dus n·(n+1)·(2n+1) deelbaar is door 6.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 9 april 2018