WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Concurrente rechte van 2 raakpunten van een cirkel die raakt aan 2 vaste cirkel

Mijn vraag betreft volgende opgave die ik grotendeels kon oplossen, op één onderdeel na. Formulering opgave:

Een variabele cirkel O raakt aan 2 vaste cirkels M en M' in de punten R en T. Bewijs dan dat de rechte RT door een vast punt S gaat.

Klik op het plaatje voor een vergroting.

In principe zijn er vier mogelijkheden waarop een cirkel twee vaste cirkels kan raken, wat met zich meebrengt dat het bewijs uit vier delen bestaat. Ik koos voor een cirkel die uitwendig raakt aan de twee vaste cirkels.

Ik koos dan voor twee cirkels die uitwendig raakten aan M en M'. Ik deed dat door twee arbitraire inversiecentra P1 en P2 te kiezen. Bij elke inversie zorgde ik er voor dat de inversiecirkel de cirkel M of (C1) orthogonaal snijdt. Bij beide inversies wordt die cirkel dan omgezet in zichzelf, terwijl de cirkel M' of (C2) wordt omgezet in (C'2) resp. (C'2). Voor wat de eerste cirkel M betreft staat bij de figuur volgende notatie (C1)=(C'1)=(C'1).

In principe kan men dan aan (C1)=(C'1) en (C'2) resp. (C1)=(C'1) en (C'2) vier raaklijnen aanbrengen. Ik verwijderde telkens 3 van de vier raaklijnen en liet enkel de raaklijnen k'1 en k'2 staan. Het zijn die raaklijnen die door de resp. inversies worden omgezet in een cirkel (K1) (rode kleur) resp. (K2) (groene kleur). Het zijn cirkels die telkens uitwendig raken aan de vaste cirkels (C1) en (C2). De raakpunten van (K1) resp. (K2) aan de twee vaste cirkels, noem ik R1 en T1 resp. R2 en T2.

Het snijpunt van de rechten R1T1 en R2T2 wordt S genoemd.

Ik stelde dan vast met GeoGebra dat de driehoeken SR1R2 en SR2T2 gelijkvormig zijn (3 paar gelijke hoeken). Dit betekent dus evenredige zijden of SR2/ST1 = SR1/ST2 waaruit volgt SR2·ST2 = SR1· ST1. Dit betekent dat de vier raakpunten op een cirkel liggen (concyclisch). Op zijn beurt betekent dit dat T1 resp. T2 het beeld is van R1 resp. R2 van een nieuwe inversie met inversiecentrum S. Daar dit inversiecentrum een vast punt is, betekent dit dat de rechte R1T1 en R2T2, of algemeen dat de rechte RT door een vast punt moet gaan.

Zwak punt en tevens mijn vraag: ik kon de gelijkvormigheid van beide driehoeken SR1R2 en SR2T2 wel aantonen met GeoGebra, maar ik kon het nog niet zuiver wiskundig. Mijn vraag is dan ook: 'Hoe kan ik aantonen dat beide driehoeken effectief gelijkvormig zijn?'. Er is zeker al één gemeenschappelijk hoek, maar dan stopt het...

Bij voorbaat bedankt voor de tip om dit probleem op te lossen.
Yves D
Iets anders - dinsdag 28 november 2017

Antwoord

Hallo Yves,

Ik vind dat je een interessante werkwijze hebt gekozen. Ik denk dat het bewijs dat je zoekt, en eigenlijk ook het bewijs dat gevraagd wordt, opgesloten zit in het volgende:

Er is een inversie die $(C_1)$ en $(C_2)$ op elkaar afbeeldt - de inversiecirkel heet dan middencirkel en inversiecentrum is het uitwendige gelijkvormigheidspunt van $(C_1)$ en $(C_2)$.
Deze inversie beeldt $(O_1)$ af op een cirkel $(O'_1)$ die zowel $(C_1)$ als $(C_2)$ raakt. Het is nu zaak te bewijzen dat $(O_1)= (O'_1)$. Dan volgt het bewijs dat gevraagd wordt en ook de gelijkvormigheid die je zoekt.

Succes.

Groeten,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 30 november 2017