WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een bifurcatiediagram van een niet-linear dynamisch systeem

Hallo wisfaq,

Ik heb een dynamisch systeem dat uit drie niet-lineare differentiale vergelijkingen bestaat (dP/dt, dT/dt, dN/dt). Deze zijn zodanig gecompliceerd dat ik het systeem alleen met numerieke methoden kan oplossen. De beginwaarden P, T en N zijn niet-negatief. Dit systeem is een biologisch systeem, dus ik ben alleen geinteresseerd in positieve oplossingen van het systeem.

Ik heb een code geschreven in Matlab die een bifurcatie diagram construeert. Op de vertikale as heb ik een parameter a en op de horizontale as een parameter b. In dit diagram kan zien waar een equilibrium stabiel is.

Mijn code werkt op de volgende manier:
Neem bijv. equilibrium E1=(P, T, 0), dus dP/dt=0, dT/t=0 and N=0.
De computer lost het systeem van vergelijkingen op en vindt een oplossing: E1=(P1,T1,0). Nu kan het zijn dat een component negatief is. Van zulke oplossingen wordt de stabiliteit niet berekend. Daarom heb ik een test in de code ingebouwd: Bereken alleen de Jacobiaan als alle componenten niet-negatief zijn. En pas als de componenten niet-negatief zijn worden de eigenwaarden berekend en de stabiliteit bepaald.

Nu heb ik het volgende probleem:
Als ik de diagram plot met Matlab ontstaat soms witte gebieden in het diagram.

Ik ziet twee redenen waarom Matlab niet plot.
1. Het equilibrium heeft een negatief component.
2. Het equilibrium is positief maar niet stabiel.

Een vriend zij tegen mij: het systeem begint met positieve beginwaarden en heeft daarom alleen positieve oplossingen. het systeem kan alleen naar een stabiele oplossing convergeren. Dus de witte gebieden zijn de gebieden waar geen enkel equilibrium stabiel is.

En hier treedt de verwarring op:
Maar sommige componenten van een equilibrium kunnen negatief zijn. Daarom heb ik de test ingebouwd: alleen als een oplossing positief is wordt bepaaldt of deze stabiel of niet stabiel is.

Waar maak ik de denkfout? Betekent een wit gebied dat daar een equilibrium negatief is of dat deze instabiel is?

Vriendelijke groeten,

Viky
vvesel
Iets anders - maandag 27 november 2017

Antwoord

Bij `bifurcatiediagram' denk ik aan iets anders dan wat je hier beschrijft, zie de link hieronder.
Het lijkt er op alsof je bij elk paar parameterwaarden een/het evenwicht (met derde coordinaat gelijk aan $0$?) van je systeem opspoort (laat opsporen door matlab?) en vervolgens daarvan de stabiliteit laat bepalen. Je zegt niet wat je eigenlijk laat plotten, dus wat `wit' betekent is niet helemaal duidelijk.
Er zijn diverse mogelijkheden:
- bij die parameters is er helemaal geen evenwicht; dat zou kunnen en dat kan je wellicht ook op andere manieren uitzoeken (maar deze had je al)
- het evenwicht is niet stabiel (maar dat had je ook al)
- er zouden ok meer dan een evenwichten kunnen zijn; houd je code daar rekening mee?
- er is iets mis met je code (maar dat kan ik niet zien)

Overigens is je uitleg een beetke dubbelzinnig want je spreekt van oplossen vanuit positieve beginvoorwaarden en dat is iets anders dan evenwichten opsporen.

En verder: zonder meer informatie over het stelsel kan ik niet meer dan wat algemeenheden debiteren.
-
Zie Wikipedia: Bifurcation Diagram

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 28 november 2017