WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een toepassing van de integraalrekening

In mijn wiskundeboek staat de volgende opgave: Een steen wordt losgelaten (beginsnelheid is 0 m/s) vanaf een toren met een hoogte 100 m. Na 2 seconden wordt een tweede bal naar beneden gegooid. Met welke beginsnelheid moet deze bal naar beneden worden gegooid, om op hetzelfde tijdstip als de eerste bal het aardoppervlak te raken? Gegeven is de versnelling g = 9,81 m/s² de luchtweerstand buiten beschouwing gelaten.

Het eerste wat ik heb gedaan is de versnelling integreren van de steen. Daaruit komt V = -9,81 · t + C (het minteken laat zien dat de steen valt). De constante is er niet omdat er geen beginsnelheid aanwezig is. Hierna heb ik deze functie ook geïntegreerd waaruit komt h = -4,905 · t² + C. De constante in deze is 100 omdat de toren 100 meter hoog is. dus h = -4,905 · t² + 100.

Nu ik heb geïntegreerd kan ik de tijd uitvinden wanneer de steen het aardoppervlak raakt. Deze kan ik vinden door de formule h = -4,905 · t² + 100 gelijk te stellen aan 0 waaruit komt √(¹⁰⁰/_4,905). Als ik bij deze tijd 2 seconden aftrek heb ik de tijd gevonden waarin de tweede bal van 100 meter naar 0 meter moet vallen. Echter kom ik hier niet verder.

Alvast bedankt voor de moeite
Erwin
Student hbo - zondag 28 mei 2017

Antwoord

Hallo Erwin,

Voor steen 2 doe je precies hetzelfde, het handigst is om te rekenen vanaf het tijdstip dat de tweede steen wordt gegooid.
Je vindt:

V_{steen 2} = -9,81·t + V₀

De integratieconstante is nu niet 0, want de beginsnelheid is niet nul! Ik heb de beginsnelheid V₀ genoemd.

Nogmaals integreren levert je de hoogte:

h_{steen 2} = -4,905·t² + V₀·t + 100

Om dezelfde reden die je bij de eerste steen noemde, is de integratieconstante hier gelijk aan 100.

Je weet:
voor t=√(¹⁰⁰/_4,905)-2
is h=0.

Netjes invullen (let op de haakjes!), dan is V₀ je enige onbekende. Uiteraard vind je een negatieve waarde voor V₀.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 28 mei 2017