WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Determinanten (5x5 ) matrix

Dit is een reactie op vraag 47522

Helaas heb ik een gek van een docent van Inholland die dit wel doet. Ik zie het nut hiervan niet in, maar ja. Ik wil leerkracht worden en geen wiskundige namelijk.

Ik begrijp echter jouw uitleg nog steeds niet en ik word hier wanhopig van. Is het mogelijk dat je mij stap voor stap mee neemt in je uitleg?

In de theorie en lessen die we hebben gehad is een 3x3 matrix het grootste geweest wat we moesten oplossen. Echter op de toets kregen we een opgave waarin we een det moesten uitrekenen van een 5x5 matrix. Ik wist niet hoe ik moest beginnen?

Laten we als voorbeeld deze determinant nemen
$$\begin{vmatrix}1 & 5 & 9 & 2 & 6 \\2 & 6 & 8 & 4 & 2 \\3 & 2 & 4 & 5 & 1 \\0 & 5 & 3 & 2 & 5 \\1 & 5 & 3 & 6 & 8\end{vmatrix}$$
P.J.
Student hbo - zaterdag 13 mei 2017

Antwoord

Beste P.J.

Ik veronderstel dat eigenschappen van determinanten in je cursus beschreven worden, zo mag je onder andere een veelvoud van een rij (kolom) bij een andere rij (kolom) optellen. Dit kan je gebruiken om extra nullen te creëren.

Voor het uitrekenen van een determinant kan je dan ontwikkelen naar een rij (kolom) naar keuze: elk element uit die rij (kolom) wordt dan vermenigvuldigd met de cofactor; dit is de determinant die overblijft als je rij en kolom van het betreffende element schrapt, op een factor na die het teken bepaalt.

Wat extra uitleg en voorbeelden vind je bijvoorbeeld hier:

- Determinant 4x4 matrix
- Determinant
- Determinanten (5x5 ) matrix

Ik zet je op weg met jouw voorbeeld. In de eerste kolom kan je gemakkelijk nullen maken, bijvoorbeeld door:
- van de eerste rij, de laatste rij af te trekken;
- van de tweede rij, twee keer de laatste rij af te trekken;
- van de derde rij, drie keer de laatste rij af te trekken.

Dat geeft:
$$\begin{vmatrix}
1 & 5 & 9 & 2 & 6 \\
2 & 6 & 8 & 4 & 2 \\
3 & 2 & 4 & 5 & 1 \\
0 & 5 & 3 & 2 & 5 \\
1 & 5 & 3 & 6 & 8
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
0 & 0 & 6 & -4 & -2 \\
0 & -4 & 2 & -8 & -14 \\
0 & -13 & -5 & -13 & -23 \\
0 & 5 & 3 & 2 & 5 \\
1 & 5 & 3 & 6 & 8
\end{vmatrix}$$Door nu te ontwikkelen naar de eerste kolom vallen 4 van de 5 cofactoren (4x4-determinanten) weg, want ze worden vermenigvuldigd met 0. Er blijft er slechts één over en ook daar kan je weer eigenschappen op toepassen om nullen te maken:
$$\begin{vmatrix}
0 & 6 & -4 & -2 \\
-4 & 2 & -8 & -14 \\
-13 & -5 & -13 & -23 \\
5 & 3 & 2 & 5
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & -2 \\
-4 & -40 & 20 & -14 \\
-13 & -74 & 33 & -15 \\
5 & 18 & -8 & 5
\end{vmatrix}$$In deze stap gebeurde het volgende:
- drie keer de laatste kolom bij de tweede optellen;
- twee keer de laatste kolom van de derde aftrekken.

Door nu te ontwikkelen naar de eerste rij vallen 3 van de 4 cofactoren (3x3-determinanten) weg, want ze worden vermenigvuldigd met 0. Er blijft er slechts één over, horend bij het element $-2$; met een extra minteken van de cofactor moet je nu nog het volgende uitrekenen:
$$2 \, \begin{vmatrix}
-4 & -40 & 20 \\
-13 & -74 & 33 \\
5 & 18 & -8
\end{vmatrix}$$En dat is een 3x3-determinant. Je kan die rechtstreeks uitrekenen of je past weer handig eigenschappen toe; bijvoorbeeld:
- trek tien keer de eerste kolom van de tweede af;
- tel vijf keer de eerste kolom bij de derde op;
- ontwikkel nu naar de eerste rij, die bevat maar één niet-nul element, en er rest slechts één 2x2-determinant.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 13 mei 2017