WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Twee DV`s met passende methode

Goede morgen,
Ik ben aan het worstelen met twee DV's die ik heb trachten op te lossen met variabele constanten.
De beide DV 's zijn:
a) (D²-1)y=(e^-x). sin(e^-x)+cos(e^-x) met antwoord y=C1.e^x+C2.e^-x +((-e^x).(sin(e^-x))
Het gedeelte tussen haken is de oplossing van de zogenaamde particuliere integraal

b) (D²-1)y=(1+e^-x)^-2 met antwoord
y=C1.e^x+C2.e^-x+((-1 +(e^-x).ln(1+e^x))
Ik heb voor beide vergelijkingen de methode van de variatie van constanten uitgeprobeerd en dan verder met de Lagrange methode gewerkt...
Dus:
y=L1e^x+L2e^-x voor beide vergelijkingen en dan de C's veranderd in L's(die nu variabelen zijn) en tweemaal afgeleid maar ik geraak er niet verder uit en ik kom niet uit op de aangegeven antwoorden uit voor wat de particuliere integraal betreft. De D is een operator voor de afgeleide en betekent Dy= dy/dx
Ik zou nu willen vragen een voorstel voor een hulpvergelijking te geven die ik dan voor beide vergelijkingen tweemaal kan afleiden en dan oplossingen voor A,B,C... te vinden in de voorgestelde particuliere integraal van het het tweede lid ( methode onbepaalde coëfficiënten)
Zowel voor de eerste als de tweede vergelijking moeten we rekening houden met een factor 'x' omdat in beide vergelijkingen een term e^x en e-x voorkomt in het eerste lid en in het tweede lid ....en voor b) in het tweede lid e^-x voorkomt in beide vergelijkingen maar dit tweede lid van b)kan ook geschreven worden als e^2x/(e^x+1)²......
Als ik deze correcte vergelijkingen kan bekomen van jullie, dan kan ik verder de oplossingen uitwerken...
Een oplossing van de eerste methode, waar ik mee vast geraak is ook welkom zodat ik kan zien waar ik fout gelopen ben in mijn berekeningen...
Nog een fijne zondag.
Rik Le
Iets anders - zondag 23 april 2017

Antwoord

De standaardmethode werkt hier uiteindelijk wel, ook al ziet niet meteen naar uit.
Met $y=L_1e^x+L_2e^{-x}$ krijg je $y'=L_1e^x-L_2e^{-x}+L_1'e^x+L_2'e^{-x}$. We nemen $L_1'e^x+L_2'e^{-x}=0$ als extra vergelijking en differentiëren nog een keer: $y''=L_1e^x+L_2e^{-x}+L_1'e^x-L_2'e^{-x}$.
Na invullen hou je over: $L_1'e^x-L_2'e^{-x}=f(x)$ (met $f(x)=e^{-x}\sin e^{-x}+\cos e^{-x}$ of $f(x)=1/(1+e^{-x})^2$).
Het stelsel is eenvoudig op te lossen door de vergelijkingen een keer op te tellen en een keer af te trekken: $L_1'=\frac12e^{-x}f(x)$ en $L_2'=-\frac12e^xf(x)$.
Het probleem is dan de onbepaalde integralen
$$
\int e^xf(x)\,dx
$$
en
$$
\int e^{-x}f(x)\,dx
$$
uit te rekenen; in beide gevallen werkt de substitutie $u=e^{-x}$.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 25 april 2017