WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Inclusie en exclusie

Beste,

Volgende opgave moet opgelost worden met inclusie en exclusie. De oplossingsstrategie ken ik.

Maar doordat deze techniek van inclusie en exclusie toegepast mag worden, gaan we er dus vanuit dat het gaat om 3 klassen met niet-onderscheidbare objecten?

Waarom is dat zo? Mij lijken bijvoorbeeld de x₁'s onderling wel onderscheidbaar, omdat ze elk een andere waarde kunnen hebben?

Opgave:
Gebruik inclusie en exclusie om het aantal oplossen van de vergelijking te vinden.

x₁+x₂+x₃ = 15 waarbij elke xi € N en xi $<$=7
Lene
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - donderdag 3 november 2016

Antwoord

De objecten die je telt zijn geordende drietallen $(x_1,x_2,x_3)$ die voldoen aan $x_1+x_2+x_3=15$ en $x_i\le7$ ($i=1,2,3$). Die zijn wel degelijk onderscheidbaar.
Als je die met inclusie-exclusie moet tellen dan zou ik dat doen door eerst alle drietallen met $x_1+x_2+x_3=15$ te tellen, dat aantal noem je $O$, en dan het aantal slechte drietallen (met een $x_i\ge8$) af te trekken.
De slechte drietallen zijn die in $B_1\cup B_2\cup B_3$, waarbij $B_i$ de verzameling drietallen is met $x_i\ge8$. In dit geval is inclusie-exclusie niet nodig omdat de $B_i$ ondeling lege doorsnede hebben. En dus $|B_1\cup B_2\cup B_3|=|B_1|+|B_2|+|B_3|$. Het antwoord is dan $O-\bigl(|B_1|+|B_2|+|B_3|\bigr)$.

Het is wat eenvoudiger dit met genererende functies te doen: als je $(x+x^2+\cdots+x^7)^3$ uitvermenigvuldigt dan is de coefficient van $x^{15}$ het getal dat je zoekt (als je vindt dat $0$ ook een natuurlijk getal is moet je $(1+x+x^2+\cdots+x^7)^3$ uitwerken).

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 5 november 2016