WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Goldbach

P: som=a+b is even $>$ 2.
Q: a en b zijn beiden en oneven en priem.
Goldbach impliceert dus : P$\Rightarrow$Q
Contrapositie zou ook waar moeten zijn:
$\neg$Q$\Rightarrow\neg$P
$\neg$Q: a en b zijn beiden niet oneven of beiden niet priem
$\neg$P: de som van a en b is oneven.

Vb a=4 en b=8 (beiden niet oneven) maar de som is even!!

Vraag: hoe kan dit?
herman
Iets anders - zondag 4 september 2016

Antwoord

De fout zit meteen aan het begin: Goldbach impliceert niet dat de implicatie $P\Rightarrow Q$ geldt.
Het vermoeden van Goldbach zegt: elk even getal (groter dan $4$) is te schrijven als som van twee priemgetallen; je kunt dat in formules als volgt opschrijven
$$
(\exists k\ge3)(n=2k)\Rightarrow (\exists p)(\exists q)(\mathrm{priem}(p)\land\mathrm{priem}(q)\land n=p+q)
$$Dus voor elke even $n$ zijn er twee priemgetallen $p$ en $q$ met $p+q=n$.
Je kunt $n$ op meer dan één manier als som van andere getallen schrijven: $n=(n-1)+1$, $n=(n-2)+2$, $\ldots$ Goldbach zegt dat (ten minste) één van die manieren uit twee priemgetallen bestaat. Jouw $P\Rightarrow Q$ zegt dat alle manieren uit twee priemgetallen bestaan, dat is niet waar, zoals je zelf laat zien.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 4 september 2016