WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Rangschikking met herhaling

Met herhaling en volgorde belangrijk. Vijf leerlingen ABCDE. Er zijn 125 mogelijkheden om drie leerlingente kiezen: 5·5·5=125. Maar waarom? Zijn er voorbeelden?

Bij de eerste keuze zijn er evenals bij de tweede als de derde keuze, 5 mogelijkheden. Op gezag van de leraar moet worden aangenomen dat er dan 125 mogelijkheden zijn?
Rangschikking met herhaling

Lassch
Ouder - vrijdag 5 augustus 2016

Antwoord

In de wiskunde hoeven we gelukkig nooit iets op gezag van de leraar aan te nemen. Een (goede) leraar kan zijn uitspraken wel onderbouwen, dus het is wel verstandig om naar zo iemand te luisteren .

Wat betreft deze vraag: een voorbeeld is wanneer drie verschillende voorwerpen worden verloot (bv een boekenbon, een rekenmachine en een puzzel) onder vijf leerlingen, waarbij elke leerling meer dan één voorwerp kan winnen.

Er zijn vijf mogelijkheden om de boekenbon weg te geven. Deze gaat naar leerling A, B, C, D of E. Bij elk van deze mogelijkheden zijn er weer vijf mogelijkheden voor de rekenmachine. We krijgen daarmee de volgende mogelijkheden voor twee voorwerpen:
A + A
  + B
  + C
  + D
  + E

B + A
  + B
  + C
  + D
  + E

C + A
  + B
......

E + D
  + E
Vijf groepjes van vijf, dus in totaal 5x₅=25 mogelijkheden.

Bij elk van deze mogelijkheden kan voor de puzzel weer gekozen worden uit vijf leerlingen. Het aantal mogelijkheden wordt zodoende weer vijf keer zo groot: 5x₅x₅ = 125 mogelijkheden.

OK zo?

------------------------------------------------------
Twee reacties per mail:

1:
Beste Gilbert,

De verwarring wordt alleen maar groter. Wat bedoelt u met A+A?
De vraag is: Er worden 3 leerlingen gekozen uit een groep van 5. De leeerlingen worden aangeduid met A,B,C,Den E. Er wordt niets verloot.
Het probleem wordt misschien eenvoudiger als er steeds 2 leerlingen worden gekozen uit een groep van 3. De leerlingen A,B en C. De leerlingen kunnen vaker worden gekozen en de volgorde is belangrijk.
Er ontstaan de groepen:
AA      BA    CA
AB      BB    CB
AC      BC    CC
Precies 9 of 3² mogelijke koppels. Algemeen: n^k

Aldus ontstaat bij een keuze van 3 leerlingen uit een groep van5: 5·5·5=5³=125 mogelijke drietallen.
Bent u het met mij eens?

Met vriendelijke groet,
L. Lasschuijt

2:
Beste Gilbert,

Bij het probleem van de 3 leerlingen die gekozen worden uit 5 met herhaling, kan ook gesteld worden:
De eerste keer kan worden gekozen uit 5 leerlingen evenals bij de tweede en de derde keuze
Als uitvloeisel van de productregel geldt dan: Er zijn 5·5·5 =125 mogelijkheden. Er is immers sprake van 5 EN 5 EN 5.

Met vriendelijke groet,
L. Lasschuijt.

------------------------------------------------------------
Antwoord:

Allereerst: met A+A bedoel ik hetzelfde als wat u noteert als AA. De rest van de redenering komt overeen met uw mail, kennelijk is de redenatie (nu) wel duidelijk. Ik weet niet waar de verwarring door ontstond, maar dat lijkt nu ook niet meer relevant.

U geeft aan dat niets wordt verloot. Echter, u vroeg om een voorbeeld waarbij dit telprobleem zich voordoet. Als voorbeeld heb ik een loterij gekozen.

De productregel komt voort uit deze redenering. Wanneer u inziet dat de productregel hier op deze wijze mag (moet) worden gebruikt, dan is het probleem al opgelost. Het is echter wel prettig wanneer ook duidelijk is waarom deze regel hier geldt, vandaar dat ik mijn antwoord niet heb beperkt tot 'omdat de productregel dit voorschrijft'.

Hopelijk is alles hiermee duidelijk. Zo niet, stel dan gerust een vervolgvraag, maar het is handiger om dit via de website te doen en niet per mail.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 6 augustus 2016