WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Complexe formules en bewijzen

Hallo daar ben ik weer! Ik heb al eerder een vraag gesteld en antwoord gehad maar ik snap het niet helemaal. Direct reageren lukte niet dus doe ik het maar zo:
Ik moet deze formule bewijzen: _
|z1 * z2|=|z1| * |z2| door de formule |z|=(z*z) te gebruiken. (de tweede z in de laatste formule is de geconjugeerde). Ik snap nu wel hoe je de eerste formule kan bewijzen maar ik snap alleen niet hoe je dat met de tweede formule kan doen. In mijn opdracht staat begin zo:
_____ __ __
|z1 * z2|=((z1*z2)*(z1*z2))= (z1*z2*z1*z2)=

kunnen jullie me daarbij verder helpen?

Verder moet ik tan(ø1+ø2) uitdrukken in sin ø1, cos ø1, sin ø2 en cos ø2.

Alvast weer bedankt!

inge
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 2 maart 2003

Antwoord

Om het gedoe met getalletjes 1 en 2 te vermijden noem ik de complexe getallen gewoon a, b enz.
De geconjugeerde van a noem ik conj(a), omdat het plaatsen van het streepje op de z niet zo goed lukt.

Je begrijpt, zeg je, waarom |z| = (z*conj(z) en dus ook dat |z|² = z * conj(z)

Neem nu eens voor z het product van twee complexe getallen a en b, dus z = a*b
Dan geldt op grond van het voorgaande dat |z|² = |a * b|² =
(a * b) * conj(a * b)

Maar je kunt voor conj(a * b) schrijven conj(a) * conj(b), zodat de voorlaatste regel nu wordt:

|z|² = (a * b) * (conj(a) * conj(b)) = (a * conj(a)) * (b * conj(b)) en dat is op grond van het beginstukje van de uitleg precies |a|² * |b|²
Omdat |z|² = |a * b|² hebben we nu |a * b|² = |a|² * |b|² en met weglaten van de kwadraten ben je er dan.

Het tweede deel van je vraag gaat bijv. als volgt:

Tan(a + b) = sin(a + b) / cos(a + b) =
[sina.cosb + cosa.sinb] / [cosa.cosb - sina.sinb]

Deel in deze forse breuk nu élke term (dus zowel boven als onder de streep!) door cosa.cosb en dan zul je zien dat je krijgt:
[tana + tanb] / [1 - tana.tanb]

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 3 maart 2003