WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Eigenwaarden en eigenvectoren

Hallo
Ik moet de volgende stelling bewijzen.
'Als een (mxm)-matrix verschillende eigenwaarden heeft, dan is die matrix diagonaliseerbaar.'
Ik weet niet zo goed hoe hieraan te beginnen.
Vertrek ik uit de definitie van diagonaliseerbare matrix?
Alvast bedankt!
Met vriendelijke groeten
Julie
Julie
Student universiteit - donderdag 7 april 2016

Antwoord

Beste Julie,

Het ligt er een beetje aan welke eigenschappen je in dit verband al gezien hebt en welke definitie van 'diagonliseerbaar' je hanteert.

Misschien heb je een stelling gezien die garandeert dat een (mxm)-matrix diagonaliseerbaar is als de matrix m lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft. In dat geval komt het er voor deze vraag op neer om te tonen dat eigenvectoren die horen bij verschillende eigenwaarden, lineair onafhankelijk zijn. Dat kan bijvoorbeeld per inductie op de dimensie.

Veronderstel dat bij de m verschillende eigenwaarden, m-1 lineair onafhankelijke eigenvectoren horen. Dan kan een van de eigenvectoren geschreven worden als lineaire combinatie van de overige m-1; veronderstel dat het de eigenvector $\vec v_1$ is en schrijf:
$$\vec v_1 = c_2 \vec v_2 + \ldots + c_m \vec v_m \quad\quad(*)$$Na vermenigvuldiging met de matrix in kwestie wordt dat
$$\lambda_1\vec v_1 = c_2 \lambda_2\vec v_2 + \ldots + c_m \lambda_m\vec v_m$$Vermenigvuldig vergelijking $(*)$ met $\lambda_1$ en trek dit van de vorige vergelijking af:
$$0 = c_2 (\lambda_2-\lambda_1)\vec v_2 + \ldots + c_m (\lambda_m-\lambda_1)\vec v_m$$Maar alle lambda's zijn verschillend dus de c's...

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 8 april 2016