WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Deelruimte

Hallo
Er staat in mijn cursus geschreven:
Voor alle n element van de natuurlijke getallen is
(R, R^n, +) een deelruimte van (R, R, +).
Dit begrijp ik niet zo goed. Ik dacht dat een ruimte een deelruimte was van een andere ruimte als er een lineaire combinatie kan worden gemaakt van de vectoren.
Hier kan ik toch moeilijk een lineaire combinatie nemen van vectoren (stel bijvoorbeeld veeltermen in de derde graad) zodat deze element zijn van de vectorruimte (R, R, +)?
Kan iemand me helpen?
Met vriendelijke groeten
Julie
Julie
Student universiteit België - dinsdag 5 april 2016

Antwoord

Beste Julie,

Voor het gemak noteer ik kort $\mathbb{R}[x]$ voor de vectorruimte van de reële veeltermen en $\mathbb{R}_n[x]$ voor de vectorruimte van de reële veeltermen waarvan de graad hoogstens $n$ is; telkens over $\mathbb{R}$.

Een deelruimte van $\mathbb{R}[x]$ is, kort gezegd, een deelverzameling van $\mathbb{R}[x]$ die zelf ook een vectorruimte vormt. In de praktijk kan je dat nagaan door te controleren of lineaire combinaties van elementen uit die deelverzameling ook (steeds) binnen de deelverzameling blijven; de verzameling mag ook niet leeg zijn.

Bekijk dan $\mathbb{R}_n[x]$ voor een vaste $n$. De verzameling is niet leeg want de nulveelterm zit er sowieso in. Je moet dan nog nagaan of lineaire combinaties van veeltermen van hoogstens graad $n$ steeds een veelterm van hoogstens graad $n$ opleveren. Dat lijkt me duidelijk, maar je kan dat ook netjes opschrijven. Lukt dat?

Wat je opmerking betreft: een lineaire combinatie van veeltermen van graad drie levert steeds een veelterm van hoogstens graad drie en is dus zeker een 'veelterm' (zonder meer) en dus ook element van de vectorruimte van (alle!) reële veeltermen, zonder beperking op de graad.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 5 april 2016