Hallo, ik heb deze twee (soortgelijke) vragen zelf bedacht en ik kom er maar niet uit...
In een vaas zitten:
3 rode
8 witte
4 blauwe
5 groene
2 gele knikkers
1) Jan pakt steeds een knikker, en legt deze vervolgens terug. (trekken MET terugleggen dus). Hij doet dit 9 keer. Bereken de kans dat hij
- maximaal 2 witte knikkers
- minimaal 3 groene knikkers pakt.
2) Jan pakt steeds een knikker, en legt deze NIET terug, hij houdt ze. (trekken ZONDER terugleggen dus). Hij doet dit 9 keer.
Bereken de kans dat hij na het 9 keer trekken dit heeft:
- maximaal 2 witte knikkers
- minimaal 3 groene knikkers
Alvast ontzettend bedankt voor de moeite!
Groeten
Bram
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 2 mei 2015
Vraag 1
Als het berekenen van de kans op precies 0, 1 of 2 witte knikkers geen probleem is dan kan je P(0 wit), P(1 wit) en P(2 wit) apart uitrekenen en optellen. De kans op maximaal 2 witte knikkers is dan gelijk aan:
P(maximaal 2 wit)=P(0 wit)+P(1 wit)+P(2 wit)
Kan het ook in één keer?
Omdat het gaat om trekken met terugleggen kan je dit experiment opvatten als een binomiaal kansprobleem:
X:aantal witte knikkers
X~Bin(p=$\frac{1}{2}$,n=9)
Gevraagd: P(X$\le$2)
P(X$\le$2)$\approx$0,0898
Dat kan ook!
Voor de groene knikkers is dat ook wel handig.
X:aantal groene knikkers
X~Bin(p=$\frac{5}{22}$,n=9)
Gevraagd: P(X$\ge$3)
P(X$\ge$3)$\approx$0,3359
Vraag 2
Bij vraag 2 werkt dat (in principe) een vergelijkbare manier, maar omdat het nu gaat om trekken zonder terugleggen gebruik je de hypergeometrische verdeling.
In 't algemeen:
In een vaas bevinden zich a witte en b rode knikkers. Je pakt er n knikkers uit. De kans op k witte knikkers is dan:
$
P(X = k) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
k \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
b \\
{n - k} \\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{a + b} \\
n \\
\end{array}} \right)}}
$
In 't geval van de witte knikkers krijg je: M=8 en k=2, N=22 en n=9.
Dit geeft voor de kans om maximaal twee witte knikkers:
P(X$\le$2$\approx$0,2455
Voor de groene knikkers: M=5 en k=2, N=22 en n=9. Bedenk daarbij dat P(X$\ge$3)=1-P(X$\le$2).
P(X$\ge$3)$\approx$1-0,684=0,316
Zie Lesbrieven wiskundeleraar
