WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Order statistic

Dit is een reactie op vraag 72934

Beste,

Het spijt me dat ik vergeten was om de volledige vraag te formuleren. Dit stond er namelijk boven: Zij X1, ..., X5 een steekproef uit een Pareto(1,2)-verdeling met pdf f(x)=2/(1+x)³ voor 0$<$x. Zou u aub mijn vraag kunnen beantwoorden.

Heel erg Bedankt alvast!
Andrea
Student universiteit - donderdag 15 mei 2014

Antwoord

De kans op $(Y_1\le x)\land (Y_2\le y)\land (Y_3\le z)$ is gelijk aan de (vijfvoudige) integraal van de dichtheidsfunctie van $(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)$ over de verzameling $G$ van punten $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ met de eigenschap dat het minimum kleiner gelijk $x$ is, de volgende (in grootte) coördinaat kleiner gelijk $y$ en de daaropvolgende kleiner gelijk $z$.
Ik zou $G$ in honderdtwintig (dat is $5!$) stukken verdelen: voor elke permutatie $\sigma$ van $\{1,2,3,4,5\}$ neem ik $G_\sigma$ gelijk aan $\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) : x_{\sigma(1)} $<$ x_{\sigma(2)} $<$ x_{\sigma(3)} $<$ x_{\sigma(4)} $<$ x_{\sigma(5)}\}$; en daarin $H_\sigma=\{x: x_{\sigma(1)}\le x$ en $x_{\sigma(2)}\le y$ en $x_{\sigma(3)}\le z\}$.
Al die $H_\sigma$s hebben dezelfde kans en die kun je uitrekenen met
$$
\int_0^x\int_s^y\int_t^z \int_u^\infty\int_v^\infty \frac2{(1+s)^3} \frac2{(1+t)^3} \frac2{(1+u)^3} \frac2{(1+v)^3} \frac2{(1+w)^3} dw\, dv\, du\, dt\, ds
$$
Dat geeft de verdelingsfunctie; de kansdichtheid hangt daar met behulp van differentieren van af.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 18 mei 2014