WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: 9 kaarten 3 groepen

Dit is een reactie op vraag 72703

Dit is nog niet precies wat ik bedoel, maar uw antwoord heeft me wel op weg geholpen.

Bij deze vraagstelling is de volgorde van delen wel van belang, en in de eerste ronde is succes altijd 1/1. Want:
Als alle spelers eerst een rode kaart krijgen(bijv.) is nog steeds de combinatie RGB of RBG mogelijk. Doe ik het dan goed dat in de eerste deel ronde de kans 1/1 is, en vervolgens de kans dat de kaart niet hetzelfde is 2/3 is? en in de laatste ronde 1/3? waardoor ik dan uitkom op een kans op succes van (1+.66+.33)/3=,663(~66% kans op succes).
Of zit ik helemaal op het verkeerde spoor?
Ook wou ik graag het aantal mogelijkheden op elkaar afstemmen, hoeveel mogelijkheden zijn er? RGB RGB RGB is er 1 maar omdat 3 kaarten hetzelfde zijn word het lastig rekenen, want dan klopt het dus niet dat er (9·8·7·6·5·4·3·2·1=)362880 mogelijkheden zijn...

Ter verduidelijking:
9 kaarten, waarvan 3 kaarten identiek zijn aan 3 anderen. Dus 3 rode, 3 blauwe, 3 gele. Je schud de kaarten, en legt ze 1 voor 1 in groepen van 3 op tafel.
Hoeveel verschillende combinaties zijn er mogelijk?
Hoe groot is de kans op de combinatie van rood, geel en blauw bij alle groepen, wanneer de volgorde niet uit maakt?(dat kan dus zijn: RGB, RGB, RGB maar ook GBR, RGB, RBG... etc...)

Bedankt alvast voor de moeite die u steekt in mijn vraagstuk, en mijn excuses als er nog iets onduidelijk is...

Groetjes Bram
bram
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 15 april 2014

Antwoord

Hallo Bram,

Allereerst: de volgorde van delen is niet van belang. Alle verdelingen van kaarten over de spelers hebben een even grote kans, de kans op een bepaalde verdeling kan je niet veranderen door op een andere manier te delen. De analyse van een bepaalde verdeling (in dit geval: elke speler RGB) mogen we gerust beschouwen alsof elke speler drie kaarten tegelijk heeft gekregen, ook al heb je op een andere manier gedeeld.

Voor het tellen van mogelijkheden is het onhandig om te doen alsof eerst elke speler één kaart krijgt, dan elke speler een tweede kaart en tot slot ieder een derde kaart. Het klopt dat de eerste ronde altijd goed is. Maar het wordt al lastig wanneer speler 1 zijn tweede kaart krijgt. Stel dat hij een rode kaart heeft. Hij moet dan een gele of blauwe kaart krijgen. Als de twee andere spelers ook een rode kaart hebben, dan zijn alle overgebleven kaarten goed. Als er nog één rode kaart in het spel is, dan zijn alle kaarten goed behalve die rode. En als er nog twee rode kaarten in het spel zitten, dan zijn alle overgebleven kaarten goed op twee na. Voor de tweede kaart van de tweede speler wordt het nog ingewikkelder. Dit is een hopeloze weg.

Gemakkelijker is het om te doen alsof eerst speler 1 drie kaarten krijgt, dan speler 2 drie kaarten en tot slot speler 3. We tellen het aantal mogelijkheden waarop uiteindelijk elke speler RGB heeft gekregen, in willekeurige volgorde (dus alle combinaties GBR, BGR enz. zijn ook goed). Dat gaat als volgt:

Speler 1:
1e kaart: alles is goed: 9 mogelijkheden.
2e kaart: nieuwe kleur: 6 mogelijkheden
3e kaart: laatste kleur: 3 mogelijkheden.

Speler 1 heeft nu RGB (of GRB, of BRG, of ....). In het spel zitten nog twee kaarten van elke kleur. We gaan naar:

Speler 2:
1e kaart: alles is goed: 6 mogelijkheden
2e kaart: nieuwe kleur: 4 mogelijkheden
3e kaart: laatste kleur: 2 mogelijkheden.

Speler 2 heeft nu ook een combinatie van drie verschillende kleuren. In het spel zit van elke kleur nog één kaart. Dan:

Speler 3:
1e kaart: alles is goed: 3 mogelijkheden
2e kaart: ook alles goed: 2 mogelijkheden
3e kaart: nog één kaart over, 1 mogelijkheid.

Het aantal mogelijkheden waarbij elke speler een combinatie heeft van RGB, is dus:
9·6·3·6·4·2·3·2·1 = 46656.

Het totaal aantal mogelijkheden is:
Speler 1:
1e kaart: 9 mogelijkheden
2e kaart: 8 mogelijkheden
3e kaart: 7 mogelijkheden

Speler 2:
1e kaart: 6 mogelijkheden
enz. enz.

Dit is dus wel de door jou genoemde 9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 9! = 362880

De kans op elke speler RGB (in willekeurige volgorde) is dus:
⁴⁶⁶⁵⁶/₃₆₂₈₈₀ $\approx$ 0,129.

Dit is het antwoord dat ik eerder op iets andere wijze had berekend.

Is het zo duidelijker?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 16 april 2014