WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Homotopie van afbeeldingen

Beste wisfaq,

Ik heb enkele vragen over het bewijs van de volgende opgave.

Zij A een deelverzameling van de R^n en zij

h : (A, a_0) -$>$ (Y, y_0).

Als h naar een continue functie van de R^n naar Y uitgebreid kan worden, dan is h* de triviale homomorfisme.

(h* is de homomorfisme geinduceerd door h)

Bewijs
Zij [f] een equivalentieklasse in de fundamentele groep pi_1(A, a_0) zodat f : I -$>$ A een lus is in a_0, en

h*([f])=[h o f] in pi_1(Y,y_0).

De functie h kan uitgebreid, dus we kunnen een continue functie g vinden, g : (R^n,a_0)-$>$ (Y,y_0), zodat g(a)=a voor a in A. Omdat f(t) in A en g=h op A, geldt dat

(g o f)(t) = g(f(t)) = h(f(t)) = (h o f)(t) voor iedere t in I.

Het idee in dit bewijs is het volgende:

Als h o f een null - homotopie is, dus er bestaat een homotopie tussen h o f en een constante functie f', dan hebben we dat

h*([f])=[h o f] = [e_(y_0)], voor iedere f,

zodat h* triviaal is.

VRAAG 1. Ik begrijp niet waarom [h o f] = [e_(y_0)].

Dus we moeten laten zien dat h o f een null - homotopie is. We moeten dus laten zien dat er een homotopie bestaat tussen h o f en een constante functie k. We definieren
k : I-$>$ Y door

k(t) = y_0, voor iedere t.

VRAAG 2. Waarom is k(t) gelijk aan het basispunt y_0 van pi_1(Y, y_0)?

We definieren F : R^n x I -$>$ Y door

F(x,t) = g((1-t)f(x) + t*a_0)

en controle laat zien dat

(1) t=0 F(x, 0) = g(f(x)) = g o f(x) = h o f(x)

(2) t=1 F(x, 1) = g(a_0) = y_0 = k(x)

VRAAG 3. Mijn grootste vraag gaat over het vinden van F(x, t). Hoe kan F(x,t) geconstrueerd worden uit (1) en (2)? Is het een kwestie van puzzelen of bestaat er een systematische manier om F te vinden uit (1) en (2)?

VRAAG 4. Hoe kan ik nagaan of h = ((1-t)f(x) + ta_0) gedefinieerd is op de hele R^n?

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
Iets anders - maandag 14 april 2014

Antwoord

1. De enige constante afbeelding van $(A,a_0)$ naar $(Y,y_0)$ is die met constante waarde $y_0$; ik neem aan dat $e_{y_0}$ de gangbare notatie van die afbeelding is.
2. Omdat $k$ zo gedefinieerd is; $k$ is de constante afbeelding van hierboven.
3. $F$ is al gemaakt: je hebt zelf $F(x,t)=g\bigl((1-t)f(x)+t\cdot a_0\bigr)$ opgeschreven; (1) en (2) kun je controleren door $t=0$ en $t=1$ in te vullen.
4. Er geldt niet $h=((1-t)f(x)+t\cdot a_0)$; ik weet niet wat je daar bedoelt.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 16 april 2014