WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oplossen vergelijkingen met meerdere variabele

Graag zou ik willen weten hoe ik een vergelijking met 7 variabele kan oplossen. Ik heb hiervoor wel 250 vergelijkingen. Dat is het probleem niet, ik kan alleen niet de variabelen berekenen. Wie zou mij willen helpen om de juiste methode te vinden, of zelfs alle variabele. Ik kan een Excel bestand aanleveren met de vergelijkingen, als voorbeeld geef ik hier een 3-tal vergelijkingen.

119a + 21b + 62c + 71d + 305e + 175f + 181g = 141
143a + 90b + 101c + 127d + 151e + 78f + 116g = 111
96a + 124b + 90c + 93d + 140e + 77f + 101g = 100

De variabele graag met 3 cijfers achter de komma. Is dit uberhaupt mogelijk?

Erwin
Student hbo - maandag 10 februari 2014

Antwoord

Hallo Erwin,

Je hebt meer vergelijkingen (250) dan onbekenden (7), het stelsel is overbepaald. Je kunt dan geen exacte waarden voor de variabelen waarmee alle vergelijkingen kloppen. Met 7 onbekenden kan je 7 vergelijkingen kloppend maken. De overige vergelijkingen leveren dan een foutieve uitkomst (ervan uitgaand dat de vergelijkingen onafhankelijk zijn).

Je kunt wel een oplossing vinden volgens het kleinste kwadraten criterium, dat wil zeggen: de som van de kwadratische verschillen tussen de uitkomsten van je vergelijkingen en de gevraagde uitkomsten is minimaal. Dat is een mond vol, met een voorbeeld geef ik aan wat dit betekent:

Stel, bij bepaalde waarden van a t/m f is de uitkomst van de eerste vergelijking 143. Dit zou 141 moeten zijn. Het verschil is 2, gekwadrateerd is dit 4.
Zo heeft elke vergelijking een afwijking. Alle afwijkingen worden gekwadrateerd en opgeteld. De beste oplossing voor a t/m f is dan de oplossing waarbij deze som van gekwadrateerde afwijkingen minimaal is.

Om deze oplossing te vinden, schrijf je de coëfficienten in matrixvorm:
rij 1 is: 119 21 62 71 305 175 181
rij 2 is: 143 90 101 127 151 78 116
enz.
Met 250 vergelijkingen krijg je dus 250 rijen en 7 kolommen. Deze matrix noem ik A.

De uitkomsten van je vergelijkingen schrijf je als een matrix van 1 kolom en 250 rijen. Deze matrix noem ik B.

Je onbekende coëfficienten schrijf je als een matrix van 1 kolom en 7 rijen, deze kolom noem ik x. De waarden van deze matrix zijn nog niet bekend.

Je kunt jouw probleem nu verkort schrijven:

Vind de coëfficienten van de matrix x waarvoor geldt:

A×x = B

De procedure om dit op te lossen, wordt uitgelegd in het youtube-filmpje Find the least squares solution to the matrix equation. In dit voorbeeld wordt een stelsel opgelost van 3 vergelijkingen met 2 onbekenden. Je kunt precies dezelfde procedure volgen voor 250 vergelijkingen met 7 onbekenden.

In het filmpje Matrix Multiplication and Inverse in Excel zie je hoe je matrixfuncties in Excel uitvoert.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 11 februari 2014