WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Niet lineaire differentiaalvergelijking

Ik heb een probleem met volgend beginvoorwaardeprobleem:
y'=x/2 - ¹/₂·sqrt((x²)-4y) waarbij y(0)=-1

De vraag is of dit beginvoorwaardeprobleem een unieke oplossing in ]-2,+oneindig[ bezit.
Ik heb de existentie en uniciteitsstelling voor niet lineaire differentiaalvergelijkingen toegepast. Hierbij bekom ik dat x²-4y$>$0 het punt (0,-1) voldoet hieraan (ik haal dit punt uit mijn beginvoorwaarde) dus de stelling zegt mij dat er een unieke oplossing is in een omgeving van x=0. Maar als ik met maple de oplossingen bepaal van deze differentiaalvergelijking bekom ik twee oplossingen die gedefinieerd zijn in ]-2,+oneindig[ en voldoen aan de DV. Deze zijn: y=-x-1 en y=(-1/2·2^¹/₃·(1/2·4^¹/₃·2^¹/₃+x)·4^¹/₃) Kan iemand mij helpen? Alvast bedankt
stijn
Student universiteit - maandag 6 januari 2014

Antwoord

Beide oplossingen zijn gelijk: $4^{\frac13}\cdot2^{\frac13}=2^{\frac23}\cdot2^{\frac13}=2$ en als je dat gebruikt zie je dat de tweede oplossing ook gelijk is aan $-x-1$.
Verder levert invullen van $y=-x-1$ in de DV aan de rechterkant
$$
\frac x2-\frac12\sqrt{(x+2)^2} = \frac x2-\frac{x+2}2 = -1
$$ (als $x $>$ -2$), dus $y=-x-1$ is inderdaad een oplossing.
En de stelling garandeert dat het de enige is.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 7 januari 2014