WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vergelijking van een vlak

Gegeven zijn het vlak $\alpha\leftrightarrow y+3z+2=0$, de rechte $m\leftrightarrow\begin{cases}x-4y+1=0\\y-z+2=0\end{cases}$ en het punt $A(1,2,0)$
l is de rechte door A die evenwijdig is met $\alpha$ en loodrecht staat op m.
Gevraagd is de cartesiaanse vgl. van 2 vlakken $\beta$ en $\gamma$ die l omvatten.

Ik heb reeds een vlak gevonden dat evenwijdig is aan $\alpha$.

Nu, om een vlak te vinden loodrecht op $\alpha$:
Noem A' de loodrechte projectie van A op m.
Door m om te vormen van cart. vgl. naar parametervoorstelling, kan A' voorgesteld worden door A'(...). En omdat AA' loodrecht staat op m, geldt:
$\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{m}=0$
$\Leftrightarrow 18r-8=0$
AA' staat ook loodrecht op de normaal van alpha:
$\Leftrightarrow 4r+4=0$
In 1 stelsel:
$18r-8=4r+4\Leftrightarrow r=\frac{6}{7}$
$\Rightarrow\overrightarrow{AA'}(\frac{10}{7};-\frac{8}{8};\frac{20}{7})\sim (5,-4,10)$

Dit is een richtingsvector van gamma; ook de normaal van alpha is een richtingsvector van gamma:
$\gamma\leftrightarrow\begin{cases}x=1+5t\\y=2+s-4t\\z=3s+10t\end{cases}$

Door om te vormen bekom ik voor gamma:
$\gamma\leftrightarrow 22x+15y-5z-52=0$

Klopt dit?
Michae
3de graad ASO - zondag 9 juni 2013

Antwoord

Wanneer je eenmaal lijn l gevonden hebt, is het vinden van 2 vlakken door lijn l niet moeilijk meer. Door een lijn gaan immers oneindig veel vlakken, dus twee ervan vinden moet lukken.
Maar is de manier waarop je lijn l beschrijft wel juist?
Lijn l moet door A gaan en evenwijdig zijn aan vlak alfa.
Dan ligt l dus in het vlak door A dat evenwijdig aan alfa is. Dit vlak is natuurlijk zo gevonden.
Maar lijn m ligt niet in dit vlak en staat er ook niet loodrecht op. Als ik dus in het genoemde vlak blijf, kom ik nooit loodrecht op m te staan.
Bovendien schrijf je dat je DE lijn l zoekt, dus kennelijk is er één lijn l die voldoet.
Maar gezien het bovenstaande is zo'n lijn l er helemaal niet.
Overigens heb ik voor lijn m de volgende vectorvoorstelling gebruikt:
(x,y,z) = (-1,0,2) + t(4,1,1)
Klopt de ingestuurde opgave dus wel helemaal met de te maken opgave?
En stuur liever niet iets in LaTex want dat moet eerst omgezet worden in iets leesbaars

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 9 juni 2013