WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Driedeurenprobleem

Bedankt voor het spoedige antwoord. Hier een soortgelijk kansprobleem waarbij mijn docente in bijhorende begeleider een voor mij verwarrende oplossing beschrijft voor de situatie:

Bij een tv-quiz mag de winnaar aan het einde van de show kiezen uit drie deuren. Achter één van deze deuren zit de hoofdprijs. Nadat de winnaar een deur heeft gekozen, opent de presentator één van de andere deuren waarvan hij weet dat de hoofdprijs daar niet achter zit. Vervolgens vraagt de presentator aan de winnaar 'Wil je nog wisselen?' zodat de winnaar nog van deur kan veranderen.

Wat kan de winnaar het beste doen, wil hij een zo groot mogelijke kans hebben op de hoofdprijs? Wel wisselen, niet wisselen of maakt het niet uit?

Oplossing uit de begeleider van mijn docente: Bij niet wisselen is het raden van de goede deur 1/3, immers er is maar een van de drie deuren goed, en door het openen van een verkeerde deur verandert deze kans niet: er verandert niets door.

Bij wel wisselen van deur na het openen van een verkeerde deur verandert er wel iets.

Als hij wel de goede deur had gekozen (noem voor het gemak deze deur even A), dan wijst hij bij wisselen de verkeerde deur aan. Maar als hij B heeft gekozen, doet de spelleider C open, en kiest hij dus de goede deur, dit geldt ook voor de keuze van C: de spelleider doet B open, en dus wordt dan A gekozen. Je ziet: in twee van de drie gevallen wordt nu de goede deur gekozen. Dus wisselen loont, maakt namelijk de kans 2 keer zo groot.

Verwarring: Hoe kan de kans 1/3 blijven op de goede deur, wanneer je nog mag wisselen nadat de presentator een verkeerde deur opent? Er is dan immers nog maar 1 verkeerde deur over en 1 goede deur, als je op dat moment nog mag wisselen dan verandert de kans toch naar 1/2?? In de begeleider staat: bij niet wisselen blijft de kans op het raden v/d goede deur 1/3. Dat klopt dan toch niet, gezien een verkeerde deur geopend is door de presentator is één van de verkeerde deuren bekend. Of je dan besluit te wisselen of niet maakt toch niet uit?? De kans is alsnog 1/2 geworden naar mijn inzicht, omdat de getoonde verkeerde deur uitgesloten kan worden.
David
Cursist vavo - dinsdag 28 mei 2013

Antwoord

Wanneer nog twee mogelijkheden over zijn, wil dit niet automatisch zeggen dat de kansen op beide mogelijkheden gelijk zijn. Dit valt gemakkelijker in te zien wanneer we het spelletje met 100 deuren doen in plaats van 3. Achter één deur zit de hoofdprijs. Het zal duidelijk zijn dat je een kans hebt van 1/100 dat je de juiste deur kiest. Hierna opent de spelleider alle andere deuren op één na. Er zijn dus nog twee gesloten deuren: jouw keuze en de deur die de spelleider heeft overgeslagen. Is voor beide deuren nu de kans 1/2 geworden dat daarachter de hoofdprijs zit? Dat lijkt me niet.

Hoe zit het dan wel? Eigenlijk zijn er maar twee mogelijke situaties:
Je koos eerst een verkeerde deur, deze kans is 99/100. In dat geval zit de hoofdprijs met zekerheid achter de andere deur (want de spelleider wist precies welke deur hij gesloten moest laten).
Je koos eerst de goede deur (kans is 1/100). In dat geval zit de hoofdprijs met zekerheid niet achter de andere deur.
Je hebt dus 99/100 kans dat de prijs achter de andere deur zit, en slechts 1/100 kans dat de prijs achter de deur van jouw keuze zit. Het lijkt me verstandig om van keuze te wisselen.

Met drie deuren is het net zo: je hebt 2/3 kans dat je oorspronkelijk fout zat, en nadat de spelleider nog maar één andere deur gesloten laat, weet je achter welke deur de prijs dan wel zit. Je hebt 1/3 kans dat je oorspronkelijk goed zat, dan is ook duidelijk dat de overgebleven gesloten deur fout is. Kortom: je hebt 2/3 kans dat de prijs achter de 'andere' deur zit en slechts 1/3 kans dat de prijs achter de deur van jouw keuze zit. Ook nu is het dus verstandig om van keuze te wisselen.

Tot slot: een uitgebreide analyse van dit vraagstuk vind je op wikipedia: driedeurenprobleem. Je kunt ook een simulatie spelen om het zelf te ervaren.

Is hiermee de verwarring opgehelderd?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 28 mei 2013