WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een verstrooide professor

Dit is een vraag die moet worden opgelost door middel van een Markov keten. De vraag is als volgt:

Een verstrooide professor gaat elke ochtend met de auto van huis naar de universiteit en aan het eind van de dag terug van de universiteit naar huis. Op elk gegeven moment, is zijn rijbewijs thuis of op de universiteit. Als zijn rijbewijs op zijn vertrekpunt is, dan neemt hij het mee met een kans van 0,75 als hij van huis vertrekt. Als zijn rijbewijs op de universiteit ligt, dan neemt hij het mee met een kans 0,5. Hiervoor moet een Markov keten geformuleerd worden, die beschrijft of de professor al of niet het rijbewijs bij zich heeft tijdens het rijden en specificeer de 1-stapsovergangskansen.
De tweede opdracht is dat er moet worden berekend wat het percentage is, van het aantal ritten dat de professor het rijbewijs bij zich heeft over de lange duur.

Voor de oplossing heb ik nu het volgende:
Om de kansverdeling te kunnen geven van de volgende toestand, moet je de huidige situatie weten waar het rijbewijs van de professor zich bevind. Je moet daarvoor een Markov model opstellen met toestandsbeschrijvingen. Het proces heeft zes toestanden:

1: geen rijbewijs opweg naar uni rijbewijs op vertrek
2: geen rijbewijs opweg naar uni rijbewijs op bestemming
3: geen rijbewijs opweg naar huis rijbewijs op vertrek
4: geen rijbewijs opweg naar huis rijbewijs op bestemming
5: wel rijbewijs opweg naar uni
6: wel rijbewijs opweg naar huis

Xn = de toestand bij de n de rit naar huis of naar de universiteit

Het proces (Xn) heeft de eigenschap dat elke huidige toestand voldoende informatie bevat om de kansverdeling van toekomstige toestanden te geven. Dus het proces is een Markov keten met toestandsruimte I = {1,2,3,4,5,6}. Vervolgens wordt de 1-staps overgangskansen bepaald.

P12, P54 =0,75
P14, P52=0,25
P21, P23, P61, P63 = 0,5
P35,P46 = 1
De overige Pij zijn nul

Om uit te rekenen hoeveel procent van het aantal ritten dat de professor het rijbewijs bij zich heeft over de lange duur, moet de 1-staps overgangskansen vaak genoeg machtsverheffen om het tijdsafhankelijk gedrag te bepalen. Daarvoor neem ik P100.

De P matrix van 1-staps overgangskansen:

0 0.75 0 0.25 0 0
0.5 0 0.5 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0.25 0 0.75 0 0
0.5 0 0.5 0 0 0

Zou je de 1-stapsovergangskansen P100 nemen dan heeft de professor 42,86% van de tijd het rijbewijs bij zich.

Ik vraag me nu af of ik op de goede weg zit want volgens mij is dit helemaal fout kan iemand mij alsjeblieft helpen?

Gregor
Student hbo - woensdag 1 mei 2013

Antwoord

Hallo, Gregory.

Je moet een eenvoudigere representatie van de gegevens formuleren.

Stel dat x(n) de kans is dat het rijbewijs in nacht n thuis ligt, en y(n) de kans dat het in nacht n op de universiteit ligt.

Dan is (x(0),y(0)) = (1,0) en

x(n+1) 0.25 0.5 x(n)
y(n+1) 0.75 0.5 y(n) .

De overgangsmatrix heeft eigenwaarden -0.25 en 1.
voor n $\to$ $\to\infty$ nadert (x(n),y(n)) naar de evenwichtstoestand, dat is de eigenvector (0.4,0.6) bij eigenwaarde 1.
Dus op den duur is de kans dat het rijbewijs thuis overnacht 40% en de kans dat het op de universiteit overnacht 60%.
De kans dat hij het rijbewijs in de ochtendrit bij zich heeft is dan 0.75·0.4 = 0.3 en de kans dat hij het in de avondrit bij zich heeft 0.5·0.6 = 0.3.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 12 juni 2013