WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs ivm raaklijn aan parabool

uit een punt D ( x1,y1 ) trekken we raaklijnen t1 en t2 aan y²=2px. Bewijs dat de rico's van de raaklijnen de oplossingen zijn van de vergelijking 2x1 m² - 2y1 m + p = 0.
Voor welke D ( x1, y1) is t1 loodrecht op t2?

Weet wel dat een vergelijking aan de parabool van de vorm y1y=2p(x+x1) is, maar wat is dan de rico van 2 raaklijnent1 en t2?
Vannes
3de graad ASO - dinsdag 20 november 2012

Antwoord

Je formule voor de raaklijn zou juister zijn als D óp de parabool ligt, maar dan moet het getal 2 er wel van wegblijven.
Om al die indices 1 te vermijden, noem ik D niet (x1,y1), maar gewoon (a,b).
Een willekeurige lijn met rc = m door D ziet er dan uit als y - b = m(x - a).
Door x = a te nemen, zie je dat dit klopt.
Ga deze lijn nu snijden met de parabool, wat o.a. kan door y te vervangen door y = mx + (b - am).
Dit geeft m²x² + 2m(b - am)x + (b - am)² = 2px.
Dit is een vergelijking van de tweede graad namelijk
m²x² + (2mb - 2am² - 2p)x + (b - am)² = 0.

Omdat je wilt dat je raaklijnen krijgt, moet de discriminant van deze vergelijking nul zijn, dus (2mb - 2am² - 2p)² - 4.m².(b - am)² = 0

Dit nu 'gewoon' uitwerken (en er valt van alles weg!) leidt ten slotte tot de gewenste vergelijking.

Als de twee raaklijnen loodrecht op elkaar moeten staan, dan moet het product van de rc's -1 worden.
Je kent vermoedelijk de formule voor het product van de twee oplossingen van een tweedegraads vergelijking. Hier m₁m₂ = c/a en de a en de c heb je, namelijk a = 2ap en c = p².
Deze waarden krijg je overigens pas na die taaie uitwerking.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 20 november 2012