WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Inverse functie met voorwaarde zoeken

Hallo allemaal!

Ik weet niet of dit in de juiste categorie staat. Ik ben nieuw tot deze website, daarvoor excuses.

We zijn op het moment bezig met inverse functie, ik snap ze wel grotendeels, maar ik weet niet in welke stap van hun uitwerking ik de domeinvoorwaarde ervan moet weglaten en waarom.

Neem nu als voorbeeldopgave x²- 6x + 8 en x $\leq$ 3.

Ik werk die als volgt uit:

x = y² - 6x + 8 en y $\leq$ 3.
: x = ( y²-6x+9 )- 1
: x = ( y - 3 )² - 1
: x + 1 = ( y - 3 )²
: √(x + 1) = y - 3
: √(x + 1) + 3 = y

Bij welke stap moet ik nu de voorwaarde weglaten en waarom?

Alvast erg bedankt,
Joshua
Joshua
3de graad ASO - vrijdag 2 november 2012

Antwoord

Bij de oorspronkelijke functie zorgt de toevoeging x3 ervoor dat er in de grafiek geen punten meer op de zelfde hoogte liggen (anders is er geen inverse functie!). Toevallig ligt de top van de parabool precies bij x = 3 namelijk het punt (3,-1).
Je hebt dus: y = x² - 6x + 8 en x3 en y-1.

Voor de inverse functie geldt nu: x = y² - 6y + 8 en y3 en x-1
Je hebt dit correct omgewerkt tot twee aparte functies, namelijk
y = 3 + Ö(x + 1) en y = 3 - Ö(x + 1)

Aan beide formules kun je zien dat inderdaad x-1 moet blijven.
Om de juiste keuze te maken, moet je bedenken dat het stukje
Ö(x + 1) nooit negatief kan worden. Dat betekent dat de eerste formule voor de mogelijke inverse moet afvallen, want dan zou y altijd minimaal 3 zijn terwijl al vaststond dat y3 moest zijn.
Kortom: het is de tweede gevonden formule.

De verklaring dat je er twee vindt is de volgende.
De oorspronkelijke functie is grafisch een (staande) parabool.
De inverse figuur krijg je te zien als je deze parabool spiegelt in de lijn y = x, waarmee je een liggende parabool krijgt. Maar dit is dan geen grafiek van een functie, want grafieken van functies hebben nooit punten boven elkaar liggen.
Om tóch een inverse functie te krijgen, moet er dus gewoon minstens de helft van die parabool verdwijnen. En door in de oorspronkelijke functie toe te voegen dat x3 moet zijn, bereik je dat je na spiegeling in de lijn y = x een halve liggende parabool overhoudt.
Het mooie is nu dat de algebraïsche aanpak keurig voor zowel de bovenste als de onderste helft de formules oplevert. Door op de mogelijke waarden voor x en y te letten, kun je de juiste keuze maken.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 2 november 2012