WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Derdemachtswortel van een complex getal

Ik heb wat dingen opgezocht over de formule van Cardano/Tartaglia, die men kan gebruiken om derdegraadsvergelijkingen op te lossen. Ik heb begrepen dat als de discriminant van de vergelijking negatief is, er drie reële oplossingen zijn, maar dat er complexe getallen moeten worden gebruikt om deze te berekenen, de zogenaamde 'casus irreducibilis'. Meestal gebruikt men dan de formule van de Moivre ((cos x + i sin x)ⁿ = cos nx + i sin nx).

Maar, wat als je bijvoorbeeld x³ - 15x = 4 hebt?
Je kan dit uitwerken met de formule van Tartaglia, dan krijg je de oplossing x = ³√(2 + 11i) + ³√(2 - 11i)

Het lukt echter niet om deze derdemachtswortels uit te werken (daarom noemde men het ook de casus irreduciblis). Als men de formule van de Moivre gebruikt, kan je op het antwoord (of eigenlijk op zelfs 3 verschillende antwoorden) komen. Maar, met deze methode krijg je een uitdrukking als:
x = √(²⁰/₃)cos(arccos(√²⁷/₁₂₅) / 3)
(Wat, als ik het goed opgeschreven heb, 1 + √2 is, een oplossing van x³ - 15x = 4 is)

En dat antwoord is natuurlijk wel numeriek te benaderen, maar op die manier kan je natuurlijk nooit alle oplossing van een derdegraads vergelijkingen vinden, in een exacte vorm met wortels.

Het lukt wolfram alpha wel om beide uitdrukkingen voor x op te lossen, dus je zou verwachten dat er wel een manier is om een exacte uitdrukking in wortelvorm te geven voor een derdegraads vergelijking. Ik kan er echter geen vinden of bedenken. Bestaat er wel zo'n manier, of gebruikt wolfram alpha algoritmen die te ingewikkeld zijn om met de hand uit te voeren?
Ruben
Student universiteit - zaterdag 4 augustus 2012

Antwoord

Ruben,
Sbstitutie van x=u-v in x³-15x-4=0 geeft u³-v³-3uv(u-v)-15(u-v)-4=0. Een oplossing is u³-v³=4 en uv=-5. Hieruit volgt dat v³=-2+11i en u³=2+11i, zodat
v=³√(-2+11i)=-2+i en u=³√(2+11i)=2+i en x=u-v=4.De overige wortels zijn -2+√3 en -2-√3.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 5 augustus 2012

Re: Derdemachtswortel van een complex getal