Beste Jip,
Merk om te beginnen op dat \cos(\pi/3) = 1/2 en \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2, zodat de algemene oplossing alvast geschreven kan worden als
y(k) = c_1 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)^k + c_2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)-i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)^k
De formule van de Moivre (die volgt uit de identiteit van Euler) stelt
\left( \cos\left( x \right)+i\sin\left( x \right) \right)^k = \cos\left( kx \right)+i\sin\left( kx \right)
zodat
y(k) = c_1 \left( \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{k\pi}{3}\right) \right) + c_2 \left( \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right)-i\sin\left(\frac{k\pi}{3}\right) \right)
Stel nu c_1 = c_2 = C_1/2 en er volgt
y(k) = C_1 \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right)
en met c_1 = -iC_2/2 \, , \; c_2 = iC_2/2 volgt een tweede basisoplossing
y(k) = C_2 \sin\left(\frac{k\pi}{3}\right)
zodat de volledige oplossing de som van de basisoplossingen is
y(k) = C_1 \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right) + C_2 \sin\left(\frac{k\pi}{3}\right)
Deze redenering hoef je natuurlijk niet telkens te herhalen en zal altijd werken om, in geval van complexe oplossingen, over te gaan op een reële oplossing geschreven in termen van sinus en cosinus.
mvg,
Tom
