WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Doorsnede van de familie van de lege verzameling

Voor mijn examen wiskunde van dinsdag moet ik volgende stelling bewijzen:
"De lege verzameling fi kan ook opgevat worden als een familie. Bewijs dat de doorsnede van familie van fi = universum U."

ik vermoed dat het hier zal gaan over een bewijs uit het ongerijmde, maar verder dan dit kom ik helaas niet. Kan u me misschien helpen.

Alvast bedankt!
Roel D
Student universiteit België - zondag 12 januari 2003

Antwoord

Het is eigenlijk heel logisch als je de begrippen goed uit elkaar houdt.

Het speelt allemaal in een universum U. Dan zijn er deelverzamelingen van U, ook wel gewoon verzamelingen genoemd.
De doorsnede van twee verzamelingen bestaat uit de elementen(punten), die in de beide verzamelingen zitten, de gemeenschappelijke elementen van die twee verzamelingen.
Je kunt ook de doorsnede van meer verzamelingen nemen. Ja zelfs van een hele familie van verzamelingen. Die bestaat uit precies die punten die behoren tot alle verzamelingen van die familie.
Formeel: Laat F := { A1, A2, A3, ...} die familie verzamelingen zijn.
De doorsnede van de familie verzamelingen bestaat dan uit de punten x die voldoen aan een hele familie van voorwaarden: 1) x zit in A1 , 2) x zit in A2.enzovoorts. Hoe groter de familie , hoe kleiner die doorsnede.

Extreem geval:
de familie van alle deelverzamelingen van U. De doorsnede van die familie is de lege verzameling; want er is geen enkel punt dat in alle deelverzamelingen van U zit.
Van de andere kant; hoe kleiner die familie, hoe groter de doorsnede.

Extreem geval:
Een lege familie van vezamelingen. Dan is er dus geen enkele voorwaarde die gesteld wordt aan de punten in de doorsnede. Dus alle punten van U zitten in de doorsnede van die lege familie van verzamelingen; Als er geen enkele eis gesteld wordt, dan voldoet ieder punt.
Anders is het met de vereniging van een lege familie van verzamelingen. Dat is de lege verzameling. ( want x zit in die vereniging als x in minstens één van de verzamelingen van die familie zit, maar er zijn helemaal geen verzamelingen in die familie dus geen enkele x voldoet) Ik hoop dat je het snapt.

JCS

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 15 januari 2003