WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Differentie vergelijking recursief oplossen

Beste,

Ik heb in het kader van de cursus Operations Management bij het onderwerp wachtrij theorie, het volgende in mijn cursus staan:

Voor n0 geldt: λ.P_n-1 + µ.P_n+1 = (λ+µ)*P_n
Voor n=0 geldt: λ.P₀ = µ.P₁ (begin VW)

Voor n=0:
λ.P₀ = µ.P₁
P₁ = λ/µ·P₀ = r.P₀

[DIT VOORGAANDE KAN IK NOG VOLGEN MAAR DAN:]

Voor n0:
λ.P_n-1 + µ.P_n+1 = (λ+µ)*P_n
µ.P_n+1 - (λ+µ)*P_n + λ.P_n-1 = 0
P_n+1 - (1+r)*P_n + r.P_n-1 = 0
[hier snap ik dus niet hoe er van de tweede vergelijking wordt overgegaan in de derde vergelijking ...]

Vervolgens staat er ook:
Voor n = 1:
P₂ - (1+r)*P₁ + r.P₀ = 0
P₂ - (1+r)*r*P₀ + r.P₀ = 0
P₂ = r².P₀

[Hier weer hetzelfde probleem, hoe ga je van de eerste vergelijking naar de tweede en de derde???]

d.w.z. P₁ = r.P₀
P₂ = r².P₀

Voor n0 :
P_n+1 - (1+r)*P_n + r.P_n-1 = 0

Wat recursief leidt tot:
P_n = rⁿ.P₀

omdat:
1 = ^+¥å_n=0.P_n = P₀.^+¥å_n=0.Pⁿ=P₀.¹/_1-p voor p 1

Hieruit volgt: P₀ = 1-r

(ik hoop dat alle tekens goed gaan uitkomen)

Nu mijn vraag: Ik snap dus niet hoe de prof aan bovenstaande vergelijkingen komt.

Zou iemand in eigen woorden in de eerste plaats willen uitleggen wat het nut net is van een differentievergelijking, en vooral wat RECURSIEF betekend?
(ik heb reeds op google zitten zoeken, maar daar is het naar mijn mening zeer complex uitgelegd).

En zou vervolgens iemand zo vriendelijk willen zijn om de vergelijking toe te lichten, zodoende ik begrijp wat ik aan het doen ben. (zo kan ik de volgende oefeningen zelf begrijpen)

Alvast zeer vriendelijk bedankt,
Nick

Nick V
Student universiteit België - maandag 30 mei 2011

Antwoord

De eerst vraag over de vergelijkingen:

Boven is vastgesteld dat ^l/_m=r, dus dat is dan dat.

Boven is immers vastgesteld dat P₁=r·P₀. Daarna kan je altijd P₁ vervangen door r·P₀.

Het tweede deel gaat over vraag 'wat is een differentievergelijking?' en 'wat is recursie?'.

Differentievergelijking en recursie
Als je rij getallen hebt, bijvoorbeeld P₀, P₁. P₃, ... dan geeft de differentievergelijking aan hoe je op grond van de voorgaande getallen het volgende getal kan vinden.
Op http://nl.wikipedia.org/wiki/Differentievergelijking kan je dat nog 's bestuderen. Bekende voorbeelden zijn sparen, de rij van fibonacci en nog zo wat...
Je moet ook maar 's kijken naar http://nl.wikipedia.org/wiki/Recursief voor wat meer informatie.

Er staan een paar vreemde tekens in je tekst. Je moet nog maar even reageren als je nog vragen hebt. Hopelijk kan je hiermee in ieder geval weer even verder.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 31 mei 2011