WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een achtbaan bouwen

Ik zit op het Stedelijk Gymnasium en ben met een project bezig: een achtbaan bouwen. Maar nu ben ik op een probleem gestoten: In een achtbaan zie je dat de bocht altijd een beetje meehelt. Mijn vraag is: hoe kun je berekenen hoe ver die bocht dan meehelt.

De snelheid, massa, enz. weet ik niet precies, maar de formules zijn voldoende, dan kan ik gaan rekenen.
Bart S
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 7 januari 2003

Antwoord

Hierboven zie je een situatieschets van de achtbaan.
Het grijze blokje is (uiteraard) het achtbaankarretje, en de twee rondjes eronder stellen de doorsnede van de rails voor waar het karretje op loopt. Met andere woorden: iemand die meerijdt in het karretje kijkt naar voren het 'scherm uit'. De zwarte lijnen zijn meer ter illustratie van hoe het karretje naar links helt.

Welnu, een karretje in de bocht, ondervindt twee krachten:
a. de 'goeie ouwe' zwaartekracht F_z=m.g
b. de centripetale kracht F_c=mv²/r, deze kracht is immers nodig om het karretje een bocht te laten doorlopen

Een bocht kun je je voorstellen als een 'stukje cirkel'. En een cirkel heeft altijd een bepaalde straal r, en zo heeft zo'n bocht dat ook.

De rails leveren de centripetale kracht. Hadden de rails horizontaal gelegen, dan hadden de rails deze kracht in zijwaartse richting moeten leveren. Op zich kan dat geen kwaad, treinen gaan immers ook door de bocht zonder dat de rails een hellingshoek maken. Maar het best en het veiligst is om de rails uitsluitend een kracht in hun loodrecht-richting te laten leveren (zie schets).

de hoek $\alpha$ stelt de hellingshoek van de rails voor. En deze hoek $\alpha$ vind je ook terug aan de onderkant van de pijl van Fz. (teken maar eens een stippellijntje van de pijl van Fz naar de pijl van Fc.

Zo zie je dat tan$\alpha$=F_c/F_z $\Leftrightarrow$
tan$\alpha$=(mv²/r)/mg = v²/gr

Je ziet dat de massa er niet toe doet.
Maar wel de snelheid v. Hoe kom je daar dan aan? Wel, met behulp van de wet van behoud van energie.

Je weet de hoogte waarop het karretje begint (potentiele energie, = m.g.h) en de (lagere) hoogte waarop die snelheid heeft gewonnen en de bocht doormoet. Aldaar is potentiele energie mgh omgezet in kinetische energie ¹/₂mv².

En (gelukkig) bij deze omzetting dat ook zal blijken dat de m wegvalt en er dus niet toe doet.

succes ermee verder.

groeten,
martijn

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 9 januari 2003