WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Getal opgebouwd uit cijfers van quadraten van de

Aanleiding van de vraag is de Constante van Champernowne:
Referentie: het Wiskunde Boek van Clifford A. Pickover plus
http://mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html.
Op de WisFaq website zijn weinig of geen links te vinden anders dan de Wolfram en via Google maar mijn vraag in daar niet beantwoord.

Op zich begrijp ik de eenvoudige definitie van dit getal vanuit de simpele aaneenrijging van de eenheidsgetallen(intergers) dan wel cijfers. Anders dan dat het getal normaal is, irrationaal zowel als transcendentaal zegt mij wat er in de formele beschrijvingen allemaal nog over opgemerkt wordt, bijvoorbeeld in relatie tot fractionele opsommingen niets. Ik heb ook niet kunnen ontdekken of dit getal ergens toe dient in een praktische zin. Interessant is dat gesteld wordt door Pickover dat in de binaire vorm er rijen "nullen" en "enen" waaruit het getal bestaat zijn reeksen te vinden zijn die door middel van een codering net zoals bijv. de Morscode te vertalen zijn, via codes naar ons alfabet, naar alle teksten t/m alle volledige teksten in boeken die ooit geschreven zijn, ongeacht hoe dik die boeken zijn. Ook al is het m.i. nergens genoemd hieruit moet dan onomstotelijke volgen dat in Binaire Getal van Champernowne reeksen van "nullen" en "enen" bestaan die te vertalen zijn naar nog niet bestaande teksten van uitspraken van mensen die nu bestaan plus van niet nog niet bestaande mensen, brieven, fictie verhalen, biografieën van nog niet bestaande mensen, definities en rapportages over nog niet gebeurde gebeurtenissen en verslagen en speculaties etc. over moorden die nog niet gepleegd zijn. Dit zou betekenen dat alles wat nog in de toekomst gebeuren kan in deze codering al “beschreven” zou staan.. .ik bedoel hier echter NIET dat dit dan berichten van een godheid zouden zijn. . . Interessant voor een schrijver die even niets kan bedenken. . . slechts met een computer en een vertaalprogramma op basis een binare-code kan hij een willekeurig spannend verhaal in het Getal van Champernowne zoeken en het laten publiceren als ZIJN fictie. . .een onuitputtelijke bron van proza en moordverhalen en voer voor opera’s, plus alles wat er maar als interessante tekst voor wie dan ook is te vinden. . .even de praktische grenzen er van buiten beschouwing gelaten.

Ik stel dan dat dezelve mogelijkheden zouden gelden voor getallen die opgemaakt zijn met getallen(cijfers) van kwadraten waar door deze aan elkaar te rijgen, zoals het Getal van "Winkelman" gedefinieerd is (voor zover dit getal al geen andere naam heeft):

GW = N^2
=0,14916253649648110012114416922525628932436140044148452957662567672978484190096110241089. . .------- oneindigheid.

Net zoals voor het Getal van Chapernowne zijn er kenmerkende getallen te zien die "opvallen" zoals

100. . .maar dat kan ook opvallen als: 110012
400. . .maar dat kan ook opvallen als: 40044
900. . .maar dat kan ook opvallen als: 9009
1024. . en dat kan ook opvallen als: 2^10
waardoor men zou gaan denken dat er een 2^N algoritme in verborgen zit. . en als je daar naar gaar zoeken vind je die ook omdat bijvoorbeeld van af het begin zijn er deze getallen-paren, hierboven genoemd, in beide series te vinden:

1:1
4:4
16:16
64:64
256:256
1024:1024. . . en dat gaat natuurlijk oneindig zo door en er is een interessante consequente structuur te vinden t.a.z.v op welke positie deze getallen-paren in de twee cijferreeksen voorkomen(waar ik verder niet op in ga).

Dus, net zo logisch als er voor het Champernowne Getal GC=N^1 . . .(N=0,1,2,3 ---- oo) herkenbare getallen in de reeks voorkomen op structureel herkenbare locaties
1;10;100;1000;10000. . . .enz, zijn er in het "Winkelman" Getal GW=(N^2). . .(N=1,2,3 ---- oo) vergelijkbare "structuren" in relatie tot locaties van de cijfers te vinden, en net zo als voor N^1 betekend dit waarschijnlijk dat het "Winkelman" getal N^2 ook normaal, irrationaal en transcendentaal is, alhoewel ik dat niet kan bewijzen. Wel is het zo dat indien ik diverse ratio’s van deze getallen bekijk lijken deze ratio's allemaal geen directe identificeerbare herhaling te vertonen t/m de 15de decimaal, maar dit betekend niets, omdat de herhalende cijferreeks voor bijvoorbeeld voor 1/19 al groter is dan 15 cijfers.

Deze getallen "creatie" kan uiteraard ongelimiteerd uitgebreid worden maar het speciale aspect van deze getallen is dat de individuele eenheidsgetal 1,2,3... in de reeks dat gekwadrateerd wordt op zich ongelimiteerd groot wordt, zodat in de limiet een getal met een naar oneindigheid neigend aantal cijfers in kwadraat een nog eens oneindig veel groter getal is. . . met een naar oneindigheid neigend aantal cijfers er in, en als we nu al deze grote grote sub-getallen(cijfers) aan elkaar rijgen om het getal N^2 op te bouwen, hoe moet je dat grootheid van dat aantal cijfers in het Getal N^2 gaan beschouwen in relatie tot andere getallen die nog oneindig veel meer cijfers bevatten, zoals bijvoorbeeld getal N^3. . . dan wel het getal N^googol . . .bijvoorbeeld of zelfs N^(googol^googol)?
Ongeacht hoe groot we de exponent maken al deze getallen beginnen met 0,1abcdef. . . en zijn dus groter dan waarde dan 0,1. Bijvoorbeeld Het getal N^10 begint met

=0,110245904910485. . .en is dus dicht bij de ondergrens.

Nu is er uiteraard geen limiet aan de groot de exponent kan zijn waarmee we op deze manier getallen G1,G2,G3 kunnen opbouwen. . . .waarvoor het kleinste getal de waarde 0,1 aan de ondergrens benadert en het grootste getal aan de bovengrens 0,2 benaderd. Het grootste getal dat ik tot dusver heb kunnen vinden met Excel voor de “tweede decimaal) in de reeks, tot dusver is gecreëerd door middel van 2^93=9,90352x10^27. . .niet een klein getal J maar slechts het tweede cyfer-element voor het Getal N^93

0,1[990352. . .]. . . Ik kan me voorstellen dat er een getal bestaat 2^X dat beging met
9,99999999999. . . .99999abcd. . . en dan benaderd het getal N^X de waarde van 0,2 in de bovengrens. . . haast onbevatbaar dat we voor 0,1= GN = 0,2 oneindig veel getallen kunnen plasten waarvan het aantal decimalen ten opzichte van elkaar een aantal cijfers bevatten zodat de ratio’s van het aantal cijfer q in die getallen tot op een bepaald basis getal 1,2,3,4,. . .n “op zich” ook al oneindigheid benaderd. . . zodat Ratio =Qa/Qb--------- oo
voor de getallen indien Qa het aantal cijfers is voor Getal N^a en Qb het aantal cijfers in Getal N^b . . .and . . .a b.. . . .en zelfs voor b=a+1 dit al zo is!

Vraagstelling:
Kunnen we zeggen dar gegeven feit dat Champernowne Getal N^1 normaal, irrationaal zowel als transcendentaal is dat alle getallen die op deze vergelijkbare manier opgebouwd zijn vanuit het aaneenrijgen van "power-getallen" elementen, opgemaakt vanuit de Power Serie G(n,N), ook normaal, irrationaal en transcendentaal zijn voor

n ------ oo
en
N------- oo

Zodat

G(2) = 0,1^2;2^2;3^2;4^2; . . .n^2
G(3) = 0,1^3;2^3;3^3;4^3; . . .n^3
.
.
.
G(N-1)=0,1^(N-1);2^N-1);3^N-1);4^N-1); . . .n^N-1)
G(N) = 0,1^N;2^N;3^N;4^N; . . .n^N

PS: Ik heb de namen "cijfers" en "getallen" hier en daar op een oneigenlijke manier door elkaar gehaald.
Dus 5^2 = 25 heb ik een "cijfer" genoemd in the getal N^2 maar eigenlijk is 25 formeel gezien een getal me twee cijfers. . . .Correct?
N^2 = 0,(1)(4)(9)(16)(25)(36)(49). . .de juiste taal ontbreekt me om met spreken over "getallen" "in een getal" 100% consequent te zijn. . . ik zou het gehele "verhaal eindeloos moeten redigeren om dergelijke dubbelzinnigheden(fouten) 100% te vermijden.

Deze vraagstelling met de inleiding is veel langer geworden dan ik verwacht had. Uiteraard kunt u het inkorten en alleen de cruciale elementen waar het om gaat er in betrekken om de onderliggende essentie van de vraag duidelijk te maken. Ik heb in het lezen van dit soort getallen-opbouw niet begrepen hoe je “normaal, irrationaal en transcendentaal” zou moeten bewijzen.

Ik hoop dat u er niet van in slaap valt en dat de materie die ik aangeboord heb op zich ook interessant voor WisFaq is.
Conrad
Iets anders - donderdag 13 januari 2011

Antwoord

Hallo, Conrad.

Met een almachtige computer en een ideaal vertaalprogramma zou men in het getal van Champernowne eenvoudig alle mogelijke antwoorden op uw vraag kunnen terugvinden!

Omgekeerd kan men van alle mogelijke eindige teksten een aftelling maken, en dus ook een getal waarin alle mogelijke teksten gecodeerd zijn.
De tekst van uw vraag hierboven zat daar ook al bij, nog voordat u hem had bedacht!

Het is niet moeilijk te zien dat het Champernownegetal op basis 10 irrationaal is, want de decimale representaties van rationale getallen zijn repeterend!

Transcendentie is moeilijker te bewijzen.
(Ik meen dat een getal als 1.01001000100001000001... (dit is een variant op het Champernowne getal) transcendent is omdat de rij 1, 1.01, 1.01001, 1.010010001, 1.01001000100001, etc, snel genoeg convergeert.)

Normaliteit is in het algemeen nog moeilijker te bewijzen, maar voor het Champernowne getal op basis 10 schijnt dat mee te vallen, juist door de wijze waarop het getal geconstrueerd wordt.
Op een andere basis schijnt normaliteit al twijfelachtig te zijn: zie http://en.wikipedia.org/wiki/Champernowne_constant#cite_note-champernowne33-0 .
Dus generaliseren, zoals u voorstelt, is niet mogelijk!

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 9 februari 2011