WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Deelbaarheidskenmerk 7

Dit is een reactie op vraag 63888

Ondertussen vond ik nog een andere manier om het deelbaarheidskenmerk van 7 te bewijzen.

In woorden is dit het volgende:
Je verdeelt het getal van rechts naar links in getallen van 3 cijfers, waarvan je vervolgens (afwisselend) het verschil van neemt.
Neem volgend voorbeeld: 422240 is deelbaar door 7 want 240-422 is -182, en -182 is deelbaar door 7.
Of volgend voorbeeld: 35045920 920- 045 + 35 = 910 en 910 is deelbaar door 7, dus 35045920 ook.
Het te bewijzen is hier dus
7| abcdef $\Leftrightarrow$7| def - abc (normaal moet een streep boven de letters komen om aan te tonen dat we spreken over een getal)
abcdef kunnen we schrijven als 100 000a + 10 000b + 1000c + 100d + 10e + f, maar we moeten delen door 7. Daarom schrijven we abcdef als volgt:
abcdef = (100 100 - 100)a + (10 010 - 10)b + (1001 - 1)c + 100d + 10e + f
Ook dit kunnen we anders gaan schijven:
abcdef = 100 100a + 10 010b + 1 001c - 100a - 10b - c + 100d + 10f + e
$\Rightarrow$ 7 (14 300a + 1 430b + 143c) - 100a - 10b - c + 100d + 10f + e
Nu zijn we al zeker dat 7 ( 14 300a + 1 430b + 143c) deelbaar is door 7.
Maar als 7|abcdef en 7| 7(14300a + 1 430b +143c)
$\Rightarrow$volgens de lineaire combinatie dat 7|- 100a - 10b - c + 100d + 10e + f (hier bekijken we de cijfers apart) en dan is het bewijs voor het deelbaarheidskenmerk geleverd.
7| abcdef $\Leftrightarrow$ 7|def - abc (opnieuw moet hier een streep boven de letter komen om aan te tonen dat we over getallen spreken)
Timoth
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 30 december 2010

Antwoord

Deze truuk is gebaseerd op het feit dat 1001 deelbaar is door 7. Je kunt het ook gebruiken voor deelbaarheid door 11 of 13. Wat je 'feitelijk' doet is veelvouden van 7 aftrekken. Als je resultaat (wat overblijft) deelbaar is door 7 dan was het oorspronkelijk getal dat ook.

Naar mijn idee is dat dus niet veel anders dan het algoritme in de oospronkelijke vraag, waarbij je het laatste getal weglaat en het dubbele aftrekt, zullen we maar zeggen. Maar grappig is het wel...

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 1 januari 2011